Question

18．如圖，△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．
（1）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t（秒）：（如圖1）
①當(dāng)t=2秒時(shí)，求PQ的長(zhǎng)？
②當(dāng)t為何值時(shí)，使PQ∥AC？
（2）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，并且P到B后繼續(xù)沿BC邊移動(dòng)，Q到C后繼續(xù)沿CA邊移動(dòng)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)P移動(dòng)到BC上，點(diǎn)Q移動(dòng)到CA上，且使△PCQ的面積等于12.6cm²？（如圖2）

Answer 1

分析 （1）①求出當(dāng)t=2時(shí)，BP和BQ的值，根據(jù)勾股定理求出PQ的長(zhǎng)；
②根據(jù)PQ∥AC，得到$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{BP}{BA}$，代入相應(yīng)的代數(shù)式計(jì)算求出t的值；
（2）作QH∥AB交BC于H，用t表示出CP、HQ，根據(jù)三角形面積公式得到一元二次方程，解方程得到答案．

解答 解：（1）①當(dāng)t=2秒時(shí)，AP=2，則BP=4，BQ=4，
由勾股定理得，PQ=4$\sqrt{2}$cm；
②由題意得，BP=6-t，BQ=2t，
∵PQ∥AC，
∴$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{BP}{BA}$，即$\frac{2t}{3}$=$\frac{6-t}{6}$，
解得t=$\frac{6}{5}$，
∴當(dāng)t=$\frac{6}{5}$時(shí)，PQ∥AC；
（2）作QH∥AB交BC于H，
∵AB=6，BC=3，
∴AC=3$\sqrt{5}$，
由題意得，CQ=2t-3，CP=9-t，
∵QH∥AB，
∴$\frac{CQ}{CA}$=$\frac{HQ}{AB}$，即$\frac{2t-3}{3\sqrt{5}}$=$\frac{HQ}{6}$，
HQ=$\frac{4\sqrt{5}t-6\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$×（9-t）×$\frac{4\sqrt{5}t-6\sqrt{5}}{5}$=12.6，
解得t=$\frac{21-\sqrt{333-\frac{252\sqrt{5}}{5}}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是勾股定理的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)和一元二次方程的應(yīng)用，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)、正確解出方程是解題的關(guān)鍵．