Question

13．在直角坐標(biāo)系中點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)已知等腰△AOB，AO=AB，底邊上的高為2，A是第一象限點(diǎn)，B（4，0）．
（1）請?jiān)谝粋�(gè)平面直角坐標(biāo)系畫出等腰△AOB，并求出∠OAB的度數(shù)；
（2）直線y=$\frac{1}{2}$x+m分別與等腰△AOB的兩腰AO，AB交于點(diǎn)M、N，求出m的取值范圍，若四邊形OBNM的面積為-$\frac{3}{4}$m²+4，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求得A（2，2），從而求得OC=AC=BC，得出∠AOB=∠OAC=∠ABO=∠CAB=45°，即可求得∠OAB=90°；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法求得直線OA和直線AB的解析式，分別與直線y=$\frac{1}{2}$x+m聯(lián)立方程求得M、N的坐標(biāo)，然后設(shè)直線MN與x軸的交點(diǎn)為G，根據(jù)S_{四邊形OBNM}=S_△BGN-S_△OMG=-$\frac{3}{4}$m²+4，得出$\frac{1}{2}$×（4+2m）（$\frac{2}{3}$m+$\frac{4}{3}$）-$\frac{1}{2}$×2m×2m=-$\frac{3}{4}$m²+4，解方程即可求得．

解答 解：（1）∵AO=AB，底邊上的高為2，A是第一象限點(diǎn)，B（4，0）．
∴A（2，2），
作AC⊥OB于C，
∴OC=AC=BC
∴∠AOB=∠OAC=∠ABO=∠CAB=45°，
∴∠OAB=90°；
（2）∵A（2，2），B（4，0），
∴直線OA的解析式為y=x，直線AB的解析式為y=-x+4，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{2}x+m}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2m}\\{y=2m}\end{array}\right.$，
∴M（2m，2m），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{1}{2}x+m}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}（4-m）}\\{y=\frac{2}{3}m+\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴N（$\frac{2}{3}$（4-m），$\frac{2}{3}$m+$\frac{4}{3}$），
設(shè)直線MN與x軸的交點(diǎn)為G，
令y=0，則0=$\frac{1}{2}$x+m，
∴x=-2m
則G（-2m，0），
∴OG=2m，
∴S_{四邊形OBNM}=S_△BGN-S_△OMG=-$\frac{3}{4}$m²+4，
∴$\frac{1}{2}$×（4+2m）（$\frac{2}{3}$m+$\frac{4}{3}$）-$\frac{1}{2}$×2m×2m=-$\frac{3}{4}$m²+4，
解得m=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，兩直線的交點(diǎn)以及三角形面積等，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線的解析式是解題的關(guān)鍵．