Question

4．如圖，拋物線y=ax²-2ax-3a交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B，C兩點(diǎn)（B在C右邊），頂點(diǎn)為D．
（1）寫出B，C，A，D四點(diǎn)的坐標(biāo)（其中A，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)用含a的式子表示）；
（2）當(dāng)OA=OB時，求拋物線的解析式；
（3）若以A，B，D為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求a的值．

Answer 1

分析 （1）令x=0求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，令y=0來求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；把拋物線方程轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)OA=OB時，則OA=OB=3，得到-3a=3，a=-1，從而得到解析式；
（3）分情況討論，若A、B、D分別為直角頂點(diǎn)時，用勾股定理列方程解答．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax-3a，
∴當(dāng)x=0時，y=-3a，
∴與y軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-3a）．
∵拋物線y=ax²-2ax-3a交x軸于B，C兩點(diǎn)（B在C右邊），
∴a≠0，
令y=0，解得x=3或-1，
∴B（3，0），C（-1，0），
又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4a）；
（2）∵OA=OB=3，
∴-3a=3，
∴a=-1，
∴y=-x²+2x+3．
（3）∵頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（-1，-4a），A的坐標(biāo)為（0，-3a），B（3，0），
如圖，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則DE=4a，OE=1，BE=OB-OE=2
過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，則DF=1，AF=OF-OA=4a-3a=a．
由勾股定理得
AB²=OA²+OB²=9a²+9；
AD²=AF²+DF²=a²+1；
BD²=DE²+BE²=16a²+4，
∵△ACD為直角三角形，
①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則AB²+BD²=AD²，
即：（9a²+9）+（16a²+4）=a²+1，
整理得：a²=-$\frac{1}{2}$，
∴此種情形不存在；
②若點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，則AD²+BD²=AB²，
即：（16a²+4）+（a²+1）=9a²+9，
整理得：a²=$\frac{1}{2}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
③若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則AB²+AD²=BD²，
即：（9a²+9）+（a²+1）=16a²+4，
整理得：a²=1，
∵a＞0，
∴a=1，
綜上所述，當(dāng)a=1或a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，△ADC為直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識點(diǎn)有二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理應(yīng)用．在求有關(guān)存在性問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．