Question

8．如圖，已知一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象與x軸相交于點A，與反比例函數(shù)y₂=$\frac{c}{x}$的圖象相交于B（-1，5），C（$\frac{5}{2}$，d）兩點，點M是y軸上一動點，點P（m，n）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象上的動點．
（1）求k、b的值；
（2）當(dāng)MA+MC的值最小時，求點M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)-1$＜m＜\frac{3}{2}$，過點P作x軸的平行線與函數(shù)y₂=$\frac{c}{x}$的圖象相交于點D．試問△PAD的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，可得C點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，可得答案；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得A點的對稱點，根據(jù)兩點之間線段最短，可得A′C與y軸的交點，根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值；
（3）根據(jù)三角形的面積公式，可得關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）將點B 的坐標(biāo)代入y₂=$\frac{c}{x}$，得5=$\frac{c}{-1}$，解得c=-5．                
∴反比例函數(shù)解析式為y₂=-$\frac{5}{x}$，
將點C（$\frac{5}{2}$，d）的坐標(biāo)代入y₂=-$\frac{5}{x}$，得d=-$\frac{5}{\frac{5}{2}}$=-2，
∴C（$\frac{5}{2}$，-2），
∵一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象經(jīng)過B（-1，5）、C（$\frac{5}{2}$，-2）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5=-k+b}\\{-2=\frac{5}{2}k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$；
（2）如圖：
；
一次函數(shù)的解析式為y=-2x+3，
當(dāng)y=0時，-2x+3=0，解得x=$\frac{3}{2}$，即A（$\frac{3}{2}$，0）．
A點關(guān)于y軸的對稱點是A′（-$\frac{3}{2}$，0），
A′C與y軸的交點是M點，
設(shè)A′C的函數(shù)解析式為y=kx+b，
將A′，C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}k+b=-2}\\{-\frac{3}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
A′C的函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{4}$，
當(dāng)x=0時，y=-$\frac{3}{4}$，
即M（0，-$\frac{3}{4}$）；
（3）存在，
令y₁=0，即-2x+3=0，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴A（$\frac{3}{2}$，0），
由題意，點P（m，n）是一次函數(shù)y₁=-2x+3的圖象上的動點，且-1$＜m＜\frac{3}{2}$，
∴點P在線段AB上運動（不含A、B）
設(shè)P（$\frac{3-n}{2}$，n）   
∴DP∥x軸，且點D在y₂=-$\frac{5}{x}$的圖象上，
∴y_D=y_P=n，x_D=-$\frac{5}{n}$，即D（-$\frac{5}{n}$，n）．    
∴△PAD的面積為S=$\frac{1}{2}$PD•OP=$\frac{1}{2}$•（$\frac{3-n}{2}$+$\frac{5}{n}$）•n=-$\frac{1}{4}$（n-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{49}{16}$．    
∴S關(guān)于n的二次函數(shù)的圖象開口向下，有最大值，
又∵n=-2m+3，-1＜m＜$\frac{3}{2}$，得0＜n＜5，而0＜n=$\frac{3}{2}$＜5，
∴當(dāng)n=$\frac{3}{2}$時，即P（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）時，△PAD的面積S最大，為$\frac{49}{16}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，（1）利用圖象上的點滿足函數(shù)解析式得出C點坐標(biāo)，又利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用了線段垂直平分線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)；（3）利用了三角形的面積公式得出函數(shù)解析式，又利用二次函數(shù)的性質(zhì)：頂點坐標(biāo)是函數(shù)的最值．