Question

11．如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙M的圓心M在y軸上，⊙M與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C、D，過(guò)點(diǎn)A作⊙M的切線AP交y軸于點(diǎn)P，若⊙M的半徑為5，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），
（1）求證：∠PAC=∠CAO；
（2）求直線PA的解析式；
（3）若點(diǎn)Q為⊙M上任意一點(diǎn)，連接OQ、PQ，問(wèn)$\frac{OQ}{PQ}$的比值是否發(fā)生變化？若不變求出此值；若變化，說(shuō)明變化規(guī)律．

Answer 1

分析 （1）連接MA，如圖1，易證∠PAC=∠OAC，要求tan∠PAC的值，只需求tan∠OAC的值，只需求出OA、OC即可；
（2）如圖1，由于點(diǎn)A的坐標(biāo)已知，要求直線PA的解析式，只需求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，只需求出OP的長(zhǎng)，易證△AOM∽△PAM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MP，從而可求出OP，問(wèn)題得以解決；
（3）連接MQ，如圖2，由于MA=MQ，結(jié)合（2）中已證的結(jié)論，由此可證到△MOQ∽△MQP，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）連接MA，如圖1，
∵PA是⊙M的切線，
∴AM⊥AP，
∴∠PAC+∠MAC=90°，
∵M(jìn)A=MC，
∴∠MCA=∠MAC，
∵∠OAC+∠MCA=90°，
∴∠PAC=∠OAC；

（2）如圖1，
∵∠AMO=∠PMA，∠AOM=∠PAM=90°，
∴△AOM∽△PAM，
∴$\frac{MA}{MP}$=$\frac{MO}{MA}$，
∴MA²=MO•MP．
在Rt△AOM中，
∵AO=4，AM=5，∴OM=3．
∴25=3MP，
∴MP=$\frac{25}{3}$，
∴OP=MP-OM=$\frac{25}{3}$-3=$\frac{16}{3}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，$\frac{16}{3}$），
設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線PA的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$；

（3）連接MQ，如圖2，
∵$\frac{MA}{MP}=\frac{MO}{MA}$（（2）中已證），MA=MQ，
∴$\frac{MQ}{MP}=\frac{MC}{MQ}$，
∵∠QMO=∠PMQ，
∴△MOQ∽△MQP，
∴$\frac{OQ}{PQ}$=$\frac{MO}{MQ}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OQ}{PQ}$不變，等于$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、運(yùn)用待定系數(shù)法求直線的解析式、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性．