Question

18．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，過點B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點，連接AD，作DE⊥AD交MN于點E，連接AE．
（1）如圖①，當(dāng)AB=AC時，求證：AD=DE；
（2）如圖②，若D運動到BC邊的延長線上，且AB=k•AC，AE=m，求線段AD的長（用含k，m的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）首先過點D作DF⊥BC，交AB于點F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABE=90°，由于DE⊥AD，于是得到∠ADE=90°，推出點A，B，E，D四點共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠AED=∠ABC，證得△ABC∽△ADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{AD}$，求出$\frac{DE}{AD}=k$，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖1，過點D作DF⊥BC，交AB于點F，
則∠BDE+∠FDE=90°，
∵DE⊥AD，
∴∠FDE+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=45°，
∵M(jìn)N∥AC，
∴∠EBD=180°-∠C=135°，
∵∠BFD=45°，DF⊥BC，
∴∠BFD=45°，BD=DF，
∴∠AFD=135°，
∴∠EBD=∠AFD，
在△BDE和△FDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠AFD}\\{BD=DF}\\{∠BDE=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FDA（ASA），
∴AD=DE；

（2）解：∵M(jìn)N∥AC，∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠BAC=180°，
∴∠ABE=90°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴點A，B，E，D四點共圓，
∴∠AED=∠ABC，
∴△ABC∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{AD}$，
∵AB=k•AC，
∴$\frac{DE}{AD}=k$，
∴DE=k•AD，
∵AD²+DE²=AE²，
即AD²+（k•AD）²=m²，
∴AD=$\frac{m\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+{k}^{2}}$．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，四點共圓，圓周角定理，熟練掌握各定理是解題關(guān)鍵．