Question

8．如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上一個動點（D與B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，連接CE．
（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）求證：CE平分∠ACF；
（3）若AB=2，當四邊形ADCE的周長取最小值時，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）由于AB=AC，AD=AE，所以只需證∠BAD=∠CAE即可得結論；
（2）證明∠ACE和∠ECF都等于60°即可；
（3）將四邊形ADCE的周長用AD表示，AD最小時就是四邊形ADCE的周長最小，根據(jù)垂線段最短原理，當AD⊥BC時，AD最小，此時BD就是BC的一半．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE．
（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠BCA=60°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∴∠ECF=180-∠ACE-∠BCA=60°，
∴∠ACE=∠ECF，
∴CE平分∠ACF．
（3）解：∵△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=2，
∴四邊形ADCE的周長=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=2+AD，
根據(jù)垂線段最短，當AD⊥BC時，AD值最小，四邊形ADCE的周長取最小值，
∵AB=AC，
∴BD=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}×2$=1．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)定理以及垂線段最短原理，關鍵是找出能使三角形全等的條件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．