Question

4．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸相交于點A（-1，0）、B（3，0），直線y=kx+1與拋物線相交于A、C兩點
（1）求拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c和直線AC的解析式；
（2）以AC為直徑的圓與y軸交于兩點M、N，求M、N兩點的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，△ACP的內(nèi)心也在對稱軸上，若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；
（2）聯(lián)立方程求得C點的坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓心D的坐標(biāo)，然后根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求得；
（3）求得拋物線的對稱軸，然后作CG⊥y軸，交對稱軸與G，設(shè)對稱軸與x軸交于H，由題意可知∠APH=∠CPG，從而證得△APH∽△CPG，得出$\frac{AH}{PH}$=$\frac{CG}{PG}$，設(shè)P的坐標(biāo)為（1，a），則AH=2，PH=-a，CG=4，PG=6-a，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得a的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸相交于點A（-1，0）、B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-b+c=0}\\{\frac{9}{2}+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為$y=\frac{1}{2}{x^2}-x-\frac{3}{2}$，
∵直線y=kx+1經(jīng)過點A（-1，0），
∴-k+1=0，解得k=1，
∴直線AC的解析式為y=x+1；
（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴A（-1，0），C（5，6），
∴圓心D的坐標(biāo)為（2，3），AC=$\sqrt{（5+1）^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
作DE⊥y軸于E，則DE=2，連接DM，則DM=3$\sqrt{2}$，
∴EM=$\sqrt{D{M}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{14}$，
∴M（0，3+$\sqrt{14}$），N（0，3-$\sqrt{14}$）
（3）作CG⊥y軸，交對稱軸與G，設(shè)對稱軸與x軸交于H，
由題意可知∠APH=∠CPG，
∴△APH∽△CPG，
∴$\frac{AH}{PH}$=$\frac{CG}{PG}$，
∵拋物線的解析式為$y=\frac{1}{2}{x^2}-x-\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2
∴拋物線的對稱軸為x=1，
設(shè)P的坐標(biāo)為（1，a），
∴AH=2，PH=-a，CG=4，PG=6-a，
∴$\frac{2}{-a}$=$\frac{4}{6-a}$，解得a=-6，
∴P（1，-6）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，（3）根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得出∠APH=∠CPG是解題的關(guān)鍵．