Question

12．已知：如圖，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E是BO的中點(diǎn)，過B點(diǎn)作AC的平行線，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF
（1）求證：FB=AO；
（2）當(dāng)平行四邊形ABCD滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBO是菱形？說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖，取BC的中點(diǎn)G．由三角形中位線定理易證EG=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$OC；則由“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”證得四邊形AOBF為平行四邊形．所以平行四邊形的對(duì)邊相等：FB=AO；
（2）若四邊形AFBO是菱形，則OB=OA．故當(dāng)平行四邊形ABCD的對(duì)角線相等，即平行四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形AFBO是菱形．

解答 證明：（1）如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接EG．
∵E是BO的中點(diǎn)，
∴EG是△BFC的中位線，
∴EG=$\frac{1}{2}$BF．
同理，EG=$\frac{1}{2}$OC，
∴BF=OC．
又∵點(diǎn)O是?ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，
∴AO=CO，
∴BF=AO．
又∵BF∥AC，即BF∥AO，
∴四邊形AOBF為平行四邊形，
∴FB=AO；

（2）當(dāng)平行四邊形ABCD是矩形時(shí)，四邊形AFBO是菱形．理由如下：
∵平行四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴平行四邊形AFBO是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定，有利于學(xué)生思維能力的訓(xùn)練．涉及的知識(shí)點(diǎn)有：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；矩形的對(duì)角線相等．