Question

13．如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過(guò)C地，圖中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=45°．因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．
（1）求改直后的公路AB的長(zhǎng)；
（2）問(wèn)公路改直后該段路程比原來(lái)縮短了多少千米？（精確到0.1）
（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，$\sqrt{2}$≈1.41）

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB與D，根據(jù)AC=10千米，∠CAB=25°，求出CD、AD，根據(jù)∠CBA=45°，求出BD、BC，最后根據(jù)AB=AD+BD列式計(jì)算即可，
（2）根據(jù)AC=10千米，BC=5.9千米，即可得出公路改直后該段路程比原來(lái)縮短的路程．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB與D，
∵AC=10千米，∠CAB=25°，
∴CD=sin∠CAB•AC=sin25°×10≈0.42×10=4.2（千米），
AD=cos∠CAB•AC=cos∠25°×10≈0.91×10=9.1（千米），
∵∠CBA=45°，
∴BD=CD=4.2（千米），
BC=$\frac{CD}{sin∠CBA}$=$\frac{4.2}{sin45°}$≈5.9（千米），
∴AB=AD+BD=9.1+4.2=13.3（千米），
（2）∵AC=10千米，BC=5.9千米，
∴公路改直后該段路程比原來(lái)縮短10+5.9-13.3=2.6千米．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，求出有關(guān)線段的長(zhǎng)．