Question

2．如圖，拋物線y=ax²+bx-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知A（3，0），且M（1，-$\frac{8}{3}$）是拋物線上另一點(diǎn)．
（1）求a、b的值；
（2）連結(jié)AC，設(shè)點(diǎn)P是y軸上任一點(diǎn)，若以P、A、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)N是x軸正半軸上且在拋物線內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（不與O、A重合），過(guò)點(diǎn)N作NH∥AC交拋物線的對(duì)稱軸于H點(diǎn)．設(shè)ON=t，△ONH的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論；
（2）在y=ax²+bx-2中，當(dāng)x=0時(shí)．y=-2，得到OC=2，如圖，設(shè)P（0，m），則PC=m+2，OA=3，根據(jù)勾股定理得到AC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，①當(dāng)PA=CA時(shí)，則OP₁=OC=2，②當(dāng)PC=CA=$\sqrt{13}$時(shí)，③當(dāng)PC=PA時(shí)，點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到P₃（0，$\frac{5}{4}$），④當(dāng)PC=CA=$\sqrt{13}$時(shí)，于是得到結(jié)論；
（3）過(guò)H作HG⊥OA于G，設(shè)HN交Y軸于M，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OM=$\frac{2t}{3}$，求得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=$\frac{-\frac{1}{5}}{2×\frac{5}{3}}$=$\frac{13}{10}$，得到OG=$\frac{13}{10}$，求得GN=t-$\frac{13}{10}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到HG=$\frac{2}{3}$t-$\frac{13}{15}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）把A（3，0），且M（1，-$\frac{8}{3}$）代入y=ax²+bx-2得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b-2=0}\\{a+b-2=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$；
（2）在y=ax²+bx-2中，當(dāng)x=0時(shí)．y=-2，
∴C（0，-2），
∴OC=2，
如圖，設(shè)P（0，m），則PC=m+2，OA=3，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
①當(dāng)PA=CA時(shí)，則OP₁=OC=2，
∴P₁（0，2）；
②當(dāng)PC=CA=$\sqrt{13}$時(shí)，即m+2=$\sqrt{13}$，∴m=$\sqrt{13}$-2，
∴P₂（0，$\sqrt{13}$-2）；
③當(dāng)PC=PA時(shí)，點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，
則△AOC∽△P₃EC，
∴$\frac{\sqrt{13}}{{P}_{3}C}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{13}}{2}}$，
∴P₃C=$\frac{13}{4}$，
∴m=$\frac{5}{4}$，
∴P₃（0，$\frac{5}{4}$），
④當(dāng)PC=CA=$\sqrt{13}$時(shí)，m=-2-$\sqrt{13}$，
∴P₄（0，-2-$\sqrt{13}$），
綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)₁（0，2）或（0，$\sqrt{13}$-2）或（0，$\frac{5}{4}$）或（0，-2-$\sqrt{13}$）；
（3）過(guò)H作HG⊥OA于G，設(shè)HN交Y軸于M，
∵NH∥AC，
∴$\frac{OM}{OC}=\frac{ON}{OA}$，
∴$\frac{OM}{2}=\frac{t}{3}$，
∴OM=$\frac{2t}{3}$，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{-\frac{4}{3}}{2×\frac{2}{3}}$=1，
∴OG=1，
①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，∴GN=1-t，
∵GH∥OC，
∴△NGH∽△NOM，
∴$\frac{HG}{OM}=\frac{GN}{ON}$，
即$\frac{HG}{\frac{2}{3}t}$=$\frac{1-t}{t}$，
∴HG=-$\frac{2}{3}$t+$\frac{2}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$ON•GH=$\frac{1}{2}$t（-$\frac{2}{3}$t+$\frac{2}{3}$）=-$\frac{1}{3}$t²⁺$\frac{1}{3}$t（0＜t≤1）．
②當(dāng)1＜t＜3時(shí)，
∴GN=t-1，
∵GH∥OC，
∴△NGH∽△NOM，
∴$\frac{HG}{OM}=\frac{GN}{ON}$，
即$\frac{HG}{\frac{2}{3}t}$=$\frac{t-1}{t}$，
∴HG=$\frac{2}{3}$t-$\frac{2}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$ON•GH=$\frac{1}{2}$t（$\frac{2}{3}$t-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{3}$t²-$\frac{1}{3}$t（1＜t＜3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求得函數(shù)的系數(shù)，相似三角形的，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．