Question

13．小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭（如圖1），完全開啟后，水流路線呈拋物線，把手端點(diǎn)A，出水口B和落水點(diǎn)C恰好在同一直線上，點(diǎn)A至出水管BD的距離為12cm，洗手盆及水龍頭的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2所示，現(xiàn)用高10.2cm的圓柱型水杯去接水，若水流所在拋物線經(jīng)過點(diǎn)D和杯子上底面中心E，則點(diǎn)E到洗手盆內(nèi)側(cè)的距離EH為24-8$\sqrt{2}$cm．

Answer 1

分析 先建立直角坐標(biāo)系，過A作AG⊥OC于G，交BD于Q，過M作MP⊥AG于P，根據(jù)△ABQ∽△ACG，求得C（20，0），再根據(jù)水流所在拋物線經(jīng)過點(diǎn)D（0，24）和B（12，24），可設(shè)拋物線為y=ax²+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入拋物線，可得拋物線為y=-$\frac{3}{20}$x²+$\frac{9}{5}$x+24，最后根據(jù)點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為10.2，得出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為6+8$\sqrt{2}$，據(jù)此可得點(diǎn)E到洗手盆內(nèi)側(cè)的距離．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，過A作AG⊥OC于G，交BD于Q，過M作MP⊥AG于P，
由題可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，
∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，
∴BQ=12-8=4，
由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，
∴$\frac{BQ}{CG}$=$\frac{AQ}{AG}$，即$\frac{4}{CG}$=$\frac{12}{36}$，
∴CG=12，OC=12+8=20，
∴C（20，0），
又∵水流所在拋物線經(jīng)過點(diǎn)D（0，24）和B（12，24），
∴可設(shè)拋物線為y=ax²+bx+24，
把C（20，0），B（12，24）代入拋物線，可得
$\left\{\begin{array}{l}{24=144a+12b+24}\\{0=400a+20b+24}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{20}}\\{b=\frac{9}{5}}\end{array}\right.$，
∴拋物線為y=-$\frac{3}{20}$x²+$\frac{9}{5}$x+24，
又∵點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為10.2，
∴令y=10.2，則10.2=-$\frac{3}{20}$x²+$\frac{9}{5}$x+24，
解得x₁=6+8$\sqrt{2}$，x₂=6-8$\sqrt{2}$（舍去），
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為6+8$\sqrt{2}$，
又∵ON=30，
∴EH=30-（6+8$\sqrt{2}$）=24-8$\sqrt{2}$．
故答案為：24-8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題以水龍頭接水為載體，考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及相似三角形的應(yīng)用，在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題過程中，關(guān)注核心內(nèi)容，經(jīng)歷測量、運(yùn)算、建模等數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)為主線的問題探究過程，突出考查數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和解決問題的能力，蘊(yùn)含數(shù)學(xué)建模，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題．