Question

1．如圖，在△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，O是AB上一點(diǎn)，AO：OB=2：5．
（1）如圖（1），求點(diǎn)O到AC的距離：
（2）如圖（2），若P是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥OP交線段BC于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q不與點(diǎn)B、C重合）．
①若△AOP∽△PCQ，求AP的長(zhǎng)；
②設(shè)AP=x，CQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．并寫出函數(shù)定義域；
③當(dāng)△OPQ∽△CPQ時(shí)，求AP長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先作OD⊥AC，判斷出OD∥BC，推得△AOD∽△ABC，即可判斷出$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$；然后根據(jù)AO：OB=2：5，求出OD的長(zhǎng)度，即可求出點(diǎn)O到AC的距離是多少．
（2）①首先根據(jù)△AOP∽△PCQ，可得∠AOP=∠PCQ=90°，∠OAP=∠CPQ，所以PQ∥AB，據(jù)此推得$\frac{CP}{AC}=\frac{PQ}{AB}$；然后設(shè)AP=x，則CP=4-x，$\frac{4-x}{4}$=$\frac{PQ}{5}$，據(jù)此求出PQ的值，進(jìn)而求出x的值是多少即可．
②首先作OD⊥AC，判斷出OD∥BC，推得△AOD∽△ABC，求出AD、PD的長(zhǎng)度各是多少；然后根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△POD∽QPC，即可推得$\frac{OD}{PC}$=$\frac{PD}{QC}$，據(jù)此求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．并寫出函數(shù)定義域即可．
③根據(jù)題意，分兩種情況：當(dāng)OQ∥AC時(shí)；當(dāng)PQ平分∠CQO時(shí)；然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，分類討論，求出AP長(zhǎng)是多少即可．

解答 解：（1）如圖1，作OD⊥AC，，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$，
又∵AO：OB=2：5，
∴$\frac{OD}{3}$=$\frac{2}{2+5}$=$\frac{2}{7}$，
解得OD=$\frac{6}{7}$，
即點(diǎn)O到AC的距離是$\frac{6}{7}$．

（2）①如圖2，，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，
∵AO：OB=2：5，
∴AO=5×$\frac{2}{2+5}$=$\frac{10}{7}$；
∵△AOP∽△PCQ，
∴∠AOP=∠PCQ=90°，∠OAP=∠CPQ，
∴PQ∥AB，
∴$\frac{CP}{AC}=\frac{PQ}{AB}$，
設(shè)AP=x，則CP=4-x，
∴$\frac{4-x}{4}$=$\frac{PQ}{5}$，
解得PQ=5-1.25x，
∵∠OAP=∠CPQ，
∴cos∠OAP=cos∠CPQ，
∴$\frac{AO}{AP}=\frac{CP}{PQ}$，
∴$\frac{\frac{10}{7}}{x}=\frac{4-x}{5-1.25x}$，
解得x=$\frac{25}{14}$，
∴若△AOP∽△PCQ，AP的長(zhǎng)是$\frac{25}{14}$．

②如圖3，作OD⊥AC，，
∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AO}{AB}$，
又∵AO：OB=2：5，
∴$\frac{AD}{4}$=$\frac{2}{2+5}$=$\frac{2}{7}$，
解得AD=$\frac{8}{7}$，PD=x-$\frac{8}{7}$，
∵PQ⊥OP，
∴∠OPD+∠CPQ=90°，
又∵∠PQC+∠CPQ=90°，
∴∠OPD=∠PQC，
在△POD和QPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OPD=∠PQC}\\{∠PDO=∠QCP=90°}\end{array}\right.$
∴△POD∽QPC，
∴$\frac{OD}{PC}$=$\frac{PD}{QC}$，
∴$\frac{\frac{6}{7}}{4-x}=\frac{x-\frac{8}{7}}{y}$，
∴y=-$\frac{7}{6}$x²+6x-$\frac{16}{3}$（$\frac{8}{7}$＜x＜4）．

③如圖4，當(dāng)OQ∥AC時(shí)，△OPQ∽△CPQ，，
∵OQ∥AC，
∴$\frac{CQ}{BC}=\frac{AO}{AB}$，
∴$\frac{CQ}{3}=\frac{2}{2+5}=\frac{2}{7}$，
解得CQ=$\frac{6}{7}$，
∴$\frac{6}{7}$=-$\frac{7}{6}$AP²+6AP-$\frac{16}{3}$，
解得AP=$\frac{26}{7}$或$\frac{10}{7}$．

如圖5，作PE⊥OQ于點(diǎn)E，，
當(dāng)PQ平分∠CQO時(shí)，△OPQ∽△CPQ，
∵∠CQP=∠PQE，PC⊥BC，PE⊥OQ，
∴PC=PE，
∵∠POQ=∠CPQ，∠DOP=∠CPQ，
∴∠POQ=∠DOP，
又∵PD⊥OD，PE⊥OE，
∴PD=PE，
∴PC=PD，
即點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，
由AP-AD=AC-AP，
可得AP-$\frac{8}{7}$=4-AP，
解得AP=$\frac{18}{7}$，
綜上，可得
當(dāng)△OPQ∽△CPQ時(shí)，AP=$\frac{26}{7}$、$\frac{10}{7}$或$\frac{18}{7}$．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；③兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
（2）此題還考查了考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握．