Question

12．如圖所示，正比例函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的圖象交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如果點(diǎn)B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最�。�

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式中即可求出k的值．
（2）求出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C，然后連接BC交于x軸于點(diǎn)P，求出直線BC的解析式后即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)A（x，y）
∵△OAM的面積為1，
∴$\frac{1}{2}$xy=1，
∵y=$\frac{1}{2}$x，
∴解得：x=±2，
∵x＞0，
∴y=1，
∴點(diǎn)A（2，1），
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=$\frac{k}{x}$，
∴k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{2}{x}$，
（2）將x=1代入y=$\frac{2}{x}$，
∴y=2，
∴B（1，2），
設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，連接BC交x軸于點(diǎn)P，
∴點(diǎn)C（2，-1），
設(shè)直線BC的解析式為：y=mx+n，
將點(diǎn)B（1，2）和C（2，-1）代入y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=m+n}\\{-1=2m+n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=5}\end{array}\right.$
∴直線BC的解析式為：y=-3x+5
令y=0，
∴x=$\frac{5}{3}$
∴當(dāng)點(diǎn)P（$\frac{5}{3}$，0）時(shí)，此時(shí)PA+PB最�。�

點(diǎn)評 本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用解方程，待定系數(shù)法等知識(shí)，本題屬于中等題型．