Question

20．如圖，已知直線y=$\frac{1}{2}$x-2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過A、C兩點(diǎn)的拋物線與軸交于另一點(diǎn)B（1，0）．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）在直線y=$\frac{1}{2}$x-2上方的拋物線上存在一動點(diǎn)D，連接AD、CD，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△DCA的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得以M為圓心，以$\frac{4\sqrt{5}}{5}$為半徑的圓與直線AC相切？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（4）在y軸的正半軸上存在一點(diǎn)P，使∠APB的值最大，請直接寫出當(dāng)∠APB最大時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求得C（0，-2）、A（4，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）（x-1），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得a的值；
（2）過點(diǎn)D作y軸的平行線交AC與E，則點(diǎn)D（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2），E（m，$\frac{1}{2}$m-2）．則DE=-$\frac{1}{2}$m²+2m，然后利用三角形的面積公式可得到S與m的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得到△DCA的面積的最大值；
（3）先依據(jù)勾股定理可求得AC的長，然后可得到△ACM的面積=4，當(dāng)點(diǎn)M在AC的上時，由（2）可知M（2，1）．當(dāng)點(diǎn)M在AC的下方時，過點(diǎn)M作y軸的平行線交AC與E，則點(diǎn)M（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2），E（m，$\frac{1}{2}$m-2）．則ME=$\frac{1}{2}$m²-2m，然后可得到S與m的函數(shù)關(guān)系式，將s=4代入可求得m的值，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（4）過點(diǎn)A作AE⊥PB，垂足為E．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，a）．依據(jù)勾股定理得：AP=$\sqrt{{a}^{2}+16}$．然后再求得BP、AE的解析式，從而可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后由sin∠APB=$\frac{AE}{AP}$，得到sin²∠APB$\frac{9}{{a}^{2}+\frac{16}{{a}^{2}}+17}$，故此當(dāng)a=$\frac{4}{a}$時，sin∠APB有最大值，從而可求得a的值．

解答 解：（1）把x=0代入y=$\frac{1}{2}$x-2得：y=-2．
∴C（0，-2）．
把y=0代入得：$\frac{1}{2}$x-2=0，解得：x=4．
∴A（4，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）（x-1），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：4a=-2，解得：a=-$\frac{1}{2}$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2．

（2）過點(diǎn)D作y軸的平行線交AC與E，則點(diǎn)D（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2），E（m，$\frac{1}{2}$m-2）．

∴DE=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2-（$\frac{1}{2}$m-2）=-$\frac{1}{2}$m²+2m．
∴△DAC的面積S=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$m²+2m）=-m²+4m．
∴當(dāng)m=2時，S的最大值為4．
∴S與m的關(guān)系式為S=-m²+4m，△DCA的最大面積為4．

（3）∵⊙M與AC相切，
∴△AMC的AC邊上的高為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∵AC=2，OA=4，
∴AC=2$\sqrt{5}$．
∴S_△ACM=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=4．
當(dāng)點(diǎn)M在AC的上時，由（2）可知：當(dāng)m=2．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）．
當(dāng)點(diǎn)M在AC的下方時，過點(diǎn)M作y軸的平行線交AC與E，則點(diǎn)M（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2），E（m，$\frac{1}{2}$m-2）．

∴ME=（$\frac{1}{2}$m-2）-（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2）=$\frac{1}{2}$m²-2m．
∴△MAC的面積S=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{2}$m²-2m）=m²-4m．
∴m²-4m=4，整理得：m²-4m-4=0，解得：m=2+2$\sqrt{2}$或m=2-2$\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2+2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-3）或（2-2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$-3）．

（4）如圖3所示：過點(diǎn)A作AE⊥PB，垂足為E．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，a）．依據(jù)勾股定理得：AP=$\sqrt{{a}^{2}+16}$．
設(shè)直線BP的解析式為y=kx+a，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：k+a=0，解得：k=-a．
∴直線PB的解析式為y=-ax+a．
設(shè)直線AE的解析式為y=$\frac{1}{a}$x+b，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：$\frac{4}{a}$+b=0，解得：b=-$\frac{4}{a}$．
∴直線AE的解析式為y=$\frac{1}{a}$x-$\frac{4}{a}$．
將y=-ax+a與y=$\frac{1}{a}$x-$\frac{4}{a}$聯(lián)立，解得：x=$\frac{{a}^{2}+4}{{a}^{2}+1}$，y=$\frac{-3a}{{a}^{2}+1}$．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{{a}^{2}+4}{{a}^{2}+1}$，$\frac{-3a}{{a}^{2}+1}$）．
∴AE=$\sqrt{（\frac{{a}^{2}+4}{{a}^{2}+1}-4）^{2}+（\frac{-3a}{{a}^{2}+1}）^{2}}$．
∵sin∠APB=$\frac{AE}{AP}$，
∴sin²∠APB=$\frac{（\frac{{a}^{2}+4}{{a}^{2}+1}-4）^{2}+（\frac{-3a}{{a}^{2}+1}）^{2}}{{a}^{2}+16}$=$\frac{9{a}^{2}}{（{a}^{2}+1）（{a}^{2}+16）}$=$\frac{9}{（1+\frac{1}{{a}^{2}}）（{a}^{2}+16）}$=$\frac{9}{{a}^{2}+\frac{16}{{a}^{2}}+17}$．
∵a²+$\frac{16}{{a}^{2}}$≥2×a•$\frac{4}{a}$=8，
∴當(dāng)a=$\frac{4}{a}$時，sin∠APB有最大值，解得a=2或a=-2（舍去）．
∴當(dāng)a=2時，∠APB有最大值．
∴P（0，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值、解一元二次方程，銳角三角函數(shù)的定義以及正弦函數(shù)的增減性，求得sin∠APB取得最大值的條件是解題的關(guān)鍵．