Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=x和反比例函數(shù)y=$\frac{9}{x}$的圖象交于第一象限內(nèi)點(diǎn)A
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）把直線OA向下平移m個(gè)單位后與反比例函數(shù)y=$\frac{9}{x}$的圖象交于點(diǎn)B（6，n），求m的值和這個(gè)一次函數(shù)的解析式；
（3）若第（2）問(wèn)中平移后的一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，過(guò)A、B、D三點(diǎn)的二次函數(shù)在第一象限的圖象上有一點(diǎn)E，且△OEC的面積為$\frac{27}{8}$，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)法解答；
（2）因?yàn)锽點(diǎn)為三個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，將B（6，m）代入已知函數(shù)y=$\frac{9}{x}$，即可求得m的值；根據(jù)一次函數(shù)和正比例函數(shù)平行，可知二者比例系數(shù)相同，再用待定系數(shù)法求出b的值；
（3）A、B坐標(biāo)已求出，D點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)一次函數(shù)解析式求得；畫出圖形，設(shè)E點(diǎn)縱坐標(biāo)為h，代入二次函數(shù)解析式求出E點(diǎn)橫坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=k₁x（k₁≠0），
因?yàn)閥=k₁x的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，3），
所以3=3k₁，解得k₁=1．
這個(gè)正比例函數(shù)的解析式為y=x．
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{{k}^{2}}{x}$（k₂≠0），
因?yàn)閥=$\frac{{k}^{2}}{x}$ 的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，3），
所以3=$\frac{{k}^{2}}{3}$，
解得k₂=9．
這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{9}{x}$．

（2）因?yàn)辄c(diǎn)B（6，n）在y=$\frac{9}{x}$的圖象上，
所以n=$\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$，
則點(diǎn)B（6，$\frac{3}{2}$）．
設(shè)一次函數(shù)解析式為y=k₃x+b（k₃≠0），
因?yàn)閥=k₃x+b的圖象是由y=x平移得到的，
所以k₃=1，即y=x+b．
又因?yàn)閥=x+b的圖象過(guò)點(diǎn)B（6，$\frac{3}{2}$ ），
所以$\frac{3}{2}$=6+b，
解得b=-$\frac{9}{2}$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x-$\frac{9}{2}$．

（3）如圖，因?yàn)閥=x-$\frac{9}{2}$的圖象交y軸于點(diǎn)D，
所以D的坐標(biāo)為（0，-$\frac{9}{2}$）．
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．
因?yàn)閥=ax²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，3）、B（6，$\frac{3}{2}$）、和D（0，-$\frac{9}{2}$），
所以$\left\{\begin{array}{l}9a+3b+c=3\\ 36+6b+c=\frac{3}{2}\\ c=-\frac{9}{2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=4\\ c=-\frac{9}{2}\end{array}\right.$，
這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+4x-$\frac{9}{2}$．
∵y=x-$\frac{9}{2}$交x軸于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（$\frac{9}{2}$，0），
設(shè)E點(diǎn)縱坐標(biāo)為h，
則$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$h=$\frac{27}{8}$，
解得h=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)y=$\frac{3}{2}$時(shí)，-$\frac{1}{2}$x²+4x-$\frac{9}{2}$=$\frac{3}{2}$，
整理得，x²-8x+12=0，
解得，（x-2）（x-6）=0，
x₁=2，x₂=6，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{2}$），（6，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，將初中所學(xué)三個(gè)主要函數(shù)：一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合起來(lái)，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)與坐標(biāo)的關(guān)系及不規(guī)則圖形面積的求法，綜合性較強(qiáng)，難度適中．