Question

7．?dāng)?shù)學(xué)活動--求重疊部分的面積．
如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G．
（1）求重疊部分（△DCG）的面積；
（2）將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖2，你能求出重疊部分（△DGH）的面積嗎？請寫出解答過程；
（3）如圖3，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，使DM=MN，求重疊部分（△DMN）的面積．請直接寫出△DMN的面積是$\frac{75}{16}$．

Answer 1

分析 （1）確定點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，從而可得△ADC為等腰三角形，其底邊AC=8，底邊上的高GD=$\frac{1}{2}$BC=3，從而面積可求；
（2）如答圖1，由△ABC≌△FDE，得到∠B=∠1．根據(jù)∠C=90°，ED⊥AB，推出∠1=∠2，于是得到GH=GD．根據(jù)等角的余角相等得到∠A=∠3，于是得到AG=GD，求出AG=GH，即點(diǎn)G為AH的中點(diǎn)．根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，由△ADH∽△ACB，得到$\frac{AD}{CD}$=$\frac{DH}{CH}$，解得DH=$\frac{15}{4}$，即可得到結(jié)論；
（3）如答圖2，過點(diǎn)D作DK⊥AC于點(diǎn)K，則DK∥BC，推出△DKN∽△ACB，得到$\frac{KN}{BC}$=$\frac{DK}{AC}$，求得KN=$\frac{9}{4}$．設(shè)DM=MN=x，則MK=x-$\frac{9}{4}$．在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK²+DK²=MD²，列方程解得x=$\frac{25}{8}$，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，
∴DC=DA=DB，
∴∠B=∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，
∴∠FDE=∠B．
∴∠FDE=∠DCB，
∴DG∥BC．
∴∠AGD=∠ACB=90°，
∴DG⊥AC．
又∵DC=DA，
∴G是AC的中點(diǎn)，
∴CG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4，DG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴S_△DGC=$\frac{1}{2}$CG•DG=$\frac{1}{2}$×4×3=6．

（2）如答圖1，∵△ABC≌△FDE，
∴∠B=∠1．
∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠B=∠2，
∴∠1=∠2，
∴GH=GD．
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠A=∠3，
∴AG=GD，
∴AG=GH，即點(diǎn)G為AH的中點(diǎn)．
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵D是AB中點(diǎn)，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5．
在△ADH與△ACB中，
∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{DH}{CH}$，即$\frac{5}{8}$=$\frac{DH}{6}$，解得DH=$\frac{15}{4}$，
∴S_△DGH=$\frac{1}{2}$S_△ADH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×DH•AD=$\frac{1}{4}$×$\frac{15}{4}$×5=$\frac{75}{16}$．

（3）如答圖2，過點(diǎn)D作DK⊥AC于點(diǎn)K，則DK∥BC，
又∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
∴DK=$\frac{1}{2}$BC=3．
∵DM=MN，
∴∠MND=∠MDN，由（2）可知∠MDN=∠B，
∴∠MND=∠B，
又∵∠DKN=∠C=90°，
∴△DKN∽△ACB，
∴$\frac{KN}{BC}$=$\frac{DK}{AC}$，即$\frac{KN}{6}$=$\frac{3}{8}$，得KN=$\frac{9}{4}$．
設(shè)DM=MN=x，則MK=x-$\frac{9}{4}$．
在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK²+DK²=MD²，
即：（x-$\frac{9}{4}$）²+3²=x²，解得x=$\frac{25}{8}$，
∴S_△DMN=$\frac{1}{2}$MN•DK=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{8}$×3═$\frac{75}{16}$．
故答案為：$\frac{75}{16}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形、全等三角形、等腰三角形、勾股定理、圖形面積計(jì)算、解方程等知識點(diǎn)．題干信息量大，篇幅較長，需要認(rèn)真讀題，弄清題意與作答要求．試題以圖形旋轉(zhuǎn)為背景，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊圖形的形狀與面積不斷發(fā)生變化，需要靈活運(yùn)用多種知識予以解決，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的研究與探索精神，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，是一道好題．