Question

13．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，經(jīng)過點A作AE⊥OC，垂足為點D，AE與BC交于點F，與過點B的直線交于點E，且EB=EF．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）若CD=1，cos∠AEB=$\frac{3}{5}$，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）由∠OBC=∠OCB、∠EBC=∠EFB=∠AFC，根據(jù)∠AFC+∠OCB=90°可得∠EBC+∠OBC=90°，即可得證；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△AOD中根據(jù)cos∠AOD=cos∠AEB=$\frac{3}{5}$可得r=$\frac{5}{2}$，由cos∠AEB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{3}{5}$知AE=$\frac{5}{3}$BE，Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理有（$\frac{5}{3}$BE）²=BE²+5²，解之可得．

解答 解：（1）∵B、C在⊙O上，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵EF=EB，
∴∠EBC=∠EFB，
又∵∠AFC=∠EFB，
∴∠AFC=∠EBC，
∵AE⊥OC，
∴∠AFC+∠OCB=90°，
∴∠EBC+∠OBC=90°，即BE⊥OB，
又OB是⊙O的半徑，
∴EB是⊙O的切線；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=OC=r，
又CD=1，
∴OD=r-1，
∵∠AOD+∠EAB=90°，∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠AOD=∠AEB，
∴cos∠AOD=cos∠AEB=$\frac{3}{5}$，
∴在Rt△AOD中，cos∠AOD=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{r-1}{r}$=$\frac{3}{5}$，
解得：r=$\frac{5}{2}$，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AB=5，
在Rt△AEB中，cos∠AEB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=$\frac{5}{3}$BE，
又AE²=AB²+BE²，即（$\frac{5}{3}$BE）²=BE²+5²，
解得：BE=$\frac{15}{4}$．

點評 本題主要考查切線的判定與勾股定理及三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握切線的判定定理和勾股定理、三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．