Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+a與直線y=kx+b（k≠0）交于P，Q兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M，點(diǎn)D為拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)N（0，3），連接PN，QN，則y軸平分∠PNQ．
（1）探究：取點(diǎn)Q（2，-2）時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$-\frac{1}{2}，\frac{7}{4}$），直接寫出PQ的解析式y(tǒng)=-$\frac{3}{2}$x+1；取點(diǎn)Q（2，-3）時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）．直接寫出直線PQ的解析式y(tǒng)=-x-1；
（2）猜想：我們猜想當(dāng)a取任意小于3的實(shí)數(shù)時，ND與MD的數(shù)量關(guān)系為ND=MD．
（3）請取點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)（x_p，y_p），Q點(diǎn)坐標(biāo)（x_q，y_q），驗(yàn)證你的猜想．

Answer 1

分析 （1）①利用待定系數(shù)法即可切線PQ的解析式．②根據(jù)對稱性求出直線PN的解析式，再求出拋物線的解析式，解方程組求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可解決問題．
（2）由（1）中探究發(fā)現(xiàn)，DN=DM．
（3）作PE⊥ON于E，QF⊥y軸于F．由△NPE∽△NQF，推出$\frac{NE}{PE}$=$\frac{NF}{QF}$，可得$\frac{3-（k{x}_{P}+b）}{-{x}_{P}}$=$\frac{3-（k{x}_{Q}+b）}{{x}_{Q}}$，整理得3（x_p+x_Q）-2k（x_P•x_Q）-b（x_P+x_Q）=0由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+a}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，消去y得到，x²+kx+b-a=0，可得x_P+x_Q=-k，x_P•x_Q=b-a，推出-3k-2k（b-a）+bk=0，推出b=2a-3，推出直線PQ與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2a-3），推出DM=3-a，DN=3-a，由此即可解決問題．

解答 解；（1）當(dāng)點(diǎn)Q（2，-2），點(diǎn)P為（$-\frac{1}{2}，\frac{7}{4}$）時，設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-2}\\{-\frac{1}{2}k+b=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線PQ的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+1．
點(diǎn)Q（2，-3）時，根據(jù)對稱性可知直線NP經(jīng)過點(diǎn)（-2，-3），
把Q（2，-3）代入y=-x²+a得到a=1，
∴直線PN的解析式為y=3x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+3}\\{y=-{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）
∴直線PQ的解析式為y=-x-1．
故答案分別為y=-$\frac{3}{2}$x+1，（-1，0），y=-x-1．

（2）由（1）可知當(dāng)點(diǎn)Q（2，-2），點(diǎn)P為（$-\frac{1}{2}，\frac{7}{4}$）時，DN=DM=1，
當(dāng)點(diǎn)Q（2，-3）時，DN=DM=2，
所以猜想ND=MD．

（3）∵P點(diǎn)坐標(biāo)（x_p，y_p），Q點(diǎn)坐標(biāo)（x_q，y_q），作PE⊥ON于E，QF⊥y軸于F．

∵∠PNE=∠QNF，∠PEN=∠QFN=90°，
∴△NPE∽△NQF，
∴$\frac{NE}{PE}$=$\frac{NF}{QF}$，
∴$\frac{3-（k{x}_{P}+b）}{-{x}_{P}}$=$\frac{3-（k{x}_{Q}+b）}{{x}_{Q}}$，
整理得3（x_p+x_Q）-2k（x_P•x_Q）-b（x_P+x_Q）=0
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+a}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，消去y得到，x²+kx+b-a=0，
∴x_P+x_Q=-k，x_P•x_Q=b-a，
∴-3k-2k（b-a）+bk=0，
∴b=2a-3，
∴直線PQ與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2a-3），
∴DM=3-a，DN=3-a，
∴DN=DM．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、角平分線的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．