Question

6．△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點F、G分別落在AC、AB上．
小聰和小明各給出了一種想法：
（1）小聰想：要畫出正方形DEFG，只要能計算出正方形的邊長就能求出BD和CE的長，從而確定D點和E點，再畫正方形DEFG就容易了．設(shè)△ABC的邊長為2，請你幫小聰求出正方形的邊長（結(jié)果用含根號的式子表示，不要求化簡）．

Answer 1

分析 過點A作AH⊥BC于H交FG于K，設(shè)正方形的邊長為x，然后求出△AGF和△ABC相似，利用相似三角形對應(yīng)邊高的比等于相似比列式計算即可得解．

解答 解：如圖，過點A作AH⊥BC于H交FG于K，設(shè)正方形的邊長為x，
∵等邊△ABC的邊長為2，
∴AH=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∵正方形對邊DE∥FG，
∴△AGF∽△ABC，
∴$\frac{AK}{AH}$=$\frac{GF}{BC}$，
即$\frac{\sqrt{3}-x}{\sqrt{3}}$=$\frac{x}{2}$，
解得x=4$\sqrt{3}$-6．
答：小正方形的邊長為4$\sqrt{3}$-6．

點評 本題考查了相似三角形的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，主要利用了相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．