Question

17．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥EF，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論有（　�。�
①$\frac{CF}{DF}$=$\frac{1}{3}$；②AE²=AD•AF；③△ADF≌△ABE；④圖中有3對(duì)相似三角形．

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 由題中條件可得△CEF∽△BAE，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線段成比例，進(jìn)而又可得出△ABE∽△AEF，即可得出題中結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD 是正方形，
∴∠B=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠BAE+∠AEB=∠FEC+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△CEF∽△BAE，
∴$\frac{CE}{AB}$=$\frac{CF}{BE}$，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CF}{DF}$$\frac{1}{3}$，故①正確；
由△CEF∽△BAE可得$\frac{CE}{CF}$=$\frac{AB}{BE}$，
∴∠EAF=∠BAE的正切值相同，
∴∠EAF=∠BAE，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△AEF，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AE}{AF}$，
∴AE²=AB•AF，
∵AD=AB，
∴AE²=AD•AF，故②正確；
∵$\frac{AB}{BE}$=2，$\frac{AD}{DF}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AB}{BE}$$≠\frac{AD}{DF}$，
∴△ADF與△ABE不全等，故③錯(cuò)誤；
由以上證得△CEF∽△BAE，△ABE∽△AEF，
∴△CEF∽△AEF，故④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，其中又涉及正方形的一些性質(zhì)問(wèn)題，能夠熟練掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．