Question

13．一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點A（-4，0）和點B（0，3）．
（1）確定此一次函數(shù)的解析式；
（2）求坐標原點O到直線AB的距離；
（3）點P是線段AB上的一個動點，過點P作PD垂直于x軸于D，作PE垂直于y軸于E，記L=PD+PE，問L是否存在最大值和最小值？若存在，求出此時P點到原點O的距離，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)一次函數(shù)表達式為y=kx+b，經(jīng)過A（-4，0）、B（0，3），代入解方程組即可．
（2）設(shè)坐標原點O到直線AB的距離為d，根據(jù)S_△ABO=$\frac{1}{2}$×AO×BO=$\frac{1}{2}$×AB×d，即可解決問題．
（3）過點P作PD⊥x軸于D，作PE⊥y軸于E，設(shè)P（x，y），構(gòu)建一次函數(shù)，根據(jù)自變量的取值范圍以及一次函數(shù)的增減性即可解決問題．

解答 解：（1）設(shè)一次函數(shù)表達式為y=kx+b，經(jīng)過A（-4，0）、B（0，3）
代入得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴一次函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3．

（2）設(shè)坐標原點O到直線AB的距離為d，
在Rt△ABO中，OA=4，OB=3
根據(jù)勾股定理得AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵S_△ABO=$\frac{1}{2}$×AO×BO=$\frac{1}{2}$×AB×d
即4×3=5d，
d=$\frac{12}{5}$，
∴原點O到直線AB的距離為$\frac{12}{5}$．

（3）過點P作PD⊥x軸于D，作PE⊥y軸于E，設(shè)P（x，y），

∵P點在線段AB上，
∴y=$\frac{3}{4}$x+3，其中-4≤x≤0，
∴L=PD+PE=-x+y=-x+$\frac{3}{4}$x+3=-$\frac{1}{4}$x+3，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴L隨x的增大而減小
∴當x=-4時，L_最大=4，此時P點坐標為（-4，4），P點到原點O的距離為
PO=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
當x=0時，L_最小=3，此時P點與B點重合，P點到原點O的距離為BO=3．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的增減性、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練運用所學知識解決問題，學會構(gòu)建一次函數(shù)解決最值問題，屬于中考�？碱}型．