Question

1．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）求點A，B，C的坐標；
（2）若該拋物線的頂點是點D，求四邊形OCDB的面積．
（3）已知點P是該拋物線對稱軸的一點，若以點P，O，D為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標（不用說理）．

Answer 1

分析 （1）計算A、B的坐標時，令y=0；計算C的坐標時，令x=0；
（2）利用配方法求D的坐標，根據(jù)S_{四邊形OCDB}=S_△OCD+S_△OBD代入即可；
（3）分三種情況討論：①當OD=OP時，如圖1，②當OD=DP時，如圖2，③如圖3，當OP=PD時，分別求P的坐標．

解答 解：（1）當y=0時，即-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$=0，
x²-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
x=3或-1，
∴A（-1，0），B（3，0）；
當x=0時，y=$\frac{3}{4}$，
∴C（0，$\frac{3}{4}$）；
（2）如圖1，y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+1，
∴D（1，1），
∴S_{四邊形OCDB}=S_△OCD+S_△OBD=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×1+$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{15}{8}$；
（3）分三種情況：
①當OD=OP時，如圖1，
P與D關于x軸對稱，
∵D（1，1），
∴P（1，-1），
②當OD=DP時，如圖2，
∵D（1，1），
∴OE=DE=1，
∴OD=$\sqrt{2}$，
∴PD=OD=$\sqrt{2}$，
∴P₁（1，1+$\sqrt{2}$），P₂（1，1-$\sqrt{2}$），
③如圖3，∵D（1，1），
∴當P在x軸上時，OP=PD=1，
∴P（1，1）；
綜上所述，點P的坐標為：（1，1）或（1，1+$\sqrt{2}$）或（1，1-$\sqrt{2}$）或（1，0）．

點評 本題考查了拋物線與兩坐標軸的交點及等腰三角形的性質與判定，屬于常題型，難度適中；對于第（3）問中等腰三角形的確定，要采用分類討論的思想解決，同時利用數(shù)形結合的思想，注意不要丟解．