Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（3，0），（3，4），動點(diǎn)M，N分別從O，B同時出發(fā)以每小時1個單位的速度運(yùn)動，其中點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動，過點(diǎn)N作NP⊥BC交AC于點(diǎn)P，連接MP，若M，N兩動點(diǎn)運(yùn)動了x秒．
（1）設(shè)△MPA的面積為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）請你探索，當(dāng)x為何值時，△MPA是一個等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）三角形APM以AM為底，根據(jù)OA-OM表示出AM，高為P的縱坐標(biāo)，利用三角形的面積公式列出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分三種情況討論如圖2，如圖3，如圖4，分別當(dāng)PA=PM，AP=AM，MP=MA時，由等腰三角形的性質(zhì)求出其值即可．

解答 解：（1）延長NP，交OA于點(diǎn)E，可得出PE⊥OA，

∵BN=x，BC=4，
∴CN=BC-BN=4-x，
∵∠CNP=∠CBA=90°，∠NCP=∠BCA，
∴△CNP∽△CBA，
∴$\frac{CN}{CB}=\frac{NP}{AB}$，即$\frac{4-x}{4}=\frac{NP}{3}$，
∴NP=$\frac{3}{4}$（4-x）=3-$\frac{3}{4}x$，
∴PE=NE-NP=3-（3-$\frac{3}{4}$x）=$\frac{3}{4}$x，
在△MPA中，MA=4-x，MA上的高PE=$\frac{3}{4}$x，
∴y=S_△MPA=$\frac{1}{2}$（4-x）•$\frac{3}{4}$x；
所以y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=$\frac{3}{8}x（4-x）$；
（2）延長NP交OA于點(diǎn)E，
∵NP⊥BC，
∴NP⊥OA．
如圖2，當(dāng)PM=PA時，
∴AE=ME=NP．
∵OM=NP，
∴OM=ME=AE，
∴OM=$\frac{1}{3}$OA，
∴OM=$\frac{4}{3}$，
∴t=$\frac{4}{3}$÷1=$\frac{4}{3}$秒；
如圖3，當(dāng)AP=AM時，
∴PE=$\frac{3}{4}$x，
在Rt△APE中，由勾股定理得：
PA=$\frac{5}{4}x$，
AM=4-x，
∴$\frac{5}{4}x$=4-x，
解得：x=$\frac{16}{9}$；
如圖4，當(dāng)PM=AM時，
PE=$\frac{3}{4}x$，OE=4-x，OM=x，AM=4-x，
∴ME=2x-4，在Rt△PEM中，由勾股定理，得
PM²=（2x-4）²+（$\frac{3}{4}x$）²，
∴（2x-4）²+（$\frac{3}{4}x$）²=（4-x）²，
解得：x₁=0（舍去），x₂=$\frac{128}{57}$，
綜上所述：當(dāng)x=$\frac{4}{3}$，$\frac{16}{9}$或$\frac{128}{57}$時，△MPA為等腰三角形．

點(diǎn)評 此題考查了四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，路程=速度×?xí)r間的關(guān)系的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，分類討論思想的運(yùn)用，解答時根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立方程求解是關(guān)鍵．