Question

7．如圖，在平面內(nèi)直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+4分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，C，點(diǎn)D（m，2）在直線AC上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，且OB=3OC，點(diǎn)E是y軸上任意一點(diǎn)，記點(diǎn)E為（0，n）．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線BC的解析式；
（2）連結(jié)DE，將線段DE繞點(diǎn)D按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段DG，作正方形DEFG，是否存在n的值，使正方形的頂點(diǎn)F落在△ABC的邊上？若存在，求出所有滿足條件的n的值；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，當(dāng)n為何值時(shí)，AE′分別與AC，BC，AB垂直？

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；
（2）①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，作FH⊥y軸于H，作DM⊥y軸于M．由△EDM≌△FEH，推出DM=EH=1，EM=FH=n-2，推出F（n-2，n-1），把F點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-$\frac{1}{3}$x+4，即可解決問(wèn)題；②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí)，作DH⊥OC于H．由△DHE≌△EOF，可得DH=EO=1，即可解決問(wèn)題；
（3）分三種情形①如圖3中，當(dāng)AE′⊥AC時(shí)，②如圖4中，當(dāng)AE′⊥BC時(shí)，延長(zhǎng)AE′交BC于G，③如圖5中，當(dāng)AE′⊥AB時(shí)，分別求解即可；

解答 解：（1）由題意A（-2，0），C（0，4），
把D（m，2）代入y=2x+4解得m=-1，
∴D（-1，2），
∵OB=3OC，OC=4，
∴OB=12，
∴B（12，0），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b則有$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{12k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+4．

（2）①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，作FH⊥y軸于H，作DM⊥y軸于M．

由△EDM≌△FEH，
∴DM=EH=1，EM=FH=n-2，
∴F（n-2，n-1），把F點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-$\frac{1}{3}$x+4，
得到n-1=-$\frac{1}{3}$（n-2）+4，
∴n=$\frac{17}{4}$．

②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí)，作DH⊥OC于H．

由△DHE≌△EOF，可得DH=EO=1，
∴n=1，
綜上所述，滿足條件的n的值為$\frac{17}{4}$或1．

（3）①如圖3中，當(dāng)AE′⊥AC時(shí)，

∵直線AC的解析式為y=2x+4，
∴直線AE′的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-1，
∴E（0，-1），
∴n=-1．
②如圖4中，當(dāng)AE′⊥BC時(shí)，延長(zhǎng)AE′交BC于G，

易知，CE=CE′=4-n，AE=$\sqrt{{n}^{2}+4}$，
由△BOC∽△BGA，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{OB}{BG}$，
∴$\frac{4\sqrt{10}}{14}$=$\frac{12}{BG}$，
∴BG=$\frac{21\sqrt{10}}{5}$，
∴CG=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
由△CGE′∽△AOE，
∴$\frac{CG}{OA}$=$\frac{CE′}{AE}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{2}$=$\frac{4-n}{\sqrt{{n}^{2}+4}}$，
解得n=$\frac{26}{9}$或6（舍棄）．

③如圖5中，當(dāng)AE′⊥AB時(shí)，

易證AE=CE，設(shè)AE=CE=x，
在Rt△AEO中，∵AE²=OE²+OA²，
∴x²=（4-x）²+2²，
∴x=$\frac{5}{2}$，
∴AE=CE=$\frac{5}{2}$，
∴OE=$\frac{3}{2}$，
∴n=$\frac{3}{2}$，
綜上所述，當(dāng)AE′分別與AC，BC，AB垂直時(shí)，n的值分別為-1或$\frac{26}{9}$或$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．屬于中考?jí)狠S題．