Question

7．如圖，已知反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的圖象繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，所得的圖象與原圖象相交于點(diǎn)A，連接OA，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，交函數(shù)y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的圖象與點(diǎn)B，則扇形AOB的面積為$\frac{\sqrt{2}}{2}$π．

Answer 1

分析 如圖，作AD⊥y軸于D，由題意∠AOD=22.5°，根據(jù)對(duì)稱性可知，∠AOB=90°-2×22.5°=45°，在OD上取一點(diǎn)F，使得OF=OA，推出∠FOA=∠FAO=22.5°，推出∠AFD=∠DAF=45°，設(shè)DA=DF=a，則OF=AF=$\sqrt{2}$a，A[a，（1+$\sqrt{2}$）a]，由點(diǎn)A在y=$\frac{2}{x}$上，推出（1+$\sqrt{2}$）a²=2，推出a²=2（$\sqrt{2}$-1），由OA²=a²+（1+$\sqrt{2}$）²a²=（4+2$\sqrt{2}$）a²=4$\sqrt{2}$，根據(jù)扇形AOB的面積=$\frac{45•π•O{A}^{2}}{360}$計(jì)算即可．

解答 解：如圖，作AD⊥y軸于D，由題意∠AOD=22.5°，
根據(jù)對(duì)稱性可知，∠AOB=90°-2×22.5°=45°，
在OD上取一點(diǎn)F，使得OF=FA，
∴∠FOA=∠FAO=22.5°，
∴∠AFD=∠DAF=45°，設(shè)DA=DF=a，則OF=AF=$\sqrt{2}$a，A[a，（1+$\sqrt{2}$）a]，
∵點(diǎn)A在y=$\frac{2}{x}$上，
∴（1+$\sqrt{2}$）a²=2，
∴a²=2（$\sqrt{2}$-1），
∵OA²=a²+（1+$\sqrt{2}$）²a²=（4+2$\sqrt{2}$）a²=4$\sqrt{2}$，
∴扇形AOB的面積=$\frac{45•π•O{A}^{2}}{360}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$π．
故答案為$\frac{\sqrt{2}}{2}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、扇形的面積公式、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．