Question

2．如圖，梯形ABCD中，BC∥AD，∠ABC=90°，對(duì)角線AC與BD相交于O，AB=8cm，AD=10cm，BC=6cm，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1cm的速度沿射線BA方向移動(dòng)，過E作EQ⊥AB，交直線AC于P，交直線BD于Q，以PQ為邊向上作正方形PQNM，設(shè)正方形PQMN與△BOC，重疊部分的面積為s，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求PQ經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（2）求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并求s的最大值；
（3）如圖（2），若AB的中點(diǎn)為H，DK=1，過H作HT∥AD，交BD于T，交BK于G，求G在正方形PQNM內(nèi)部時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△BOC∽△DOA，利用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，得到△BOC中BC邊的高．從而得出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）分類討論當(dāng)點(diǎn)E在不同位置時(shí)，正方形PQMN與△BOC重疊部分的面積．
（3）根據(jù)△OGT∽△OAD，用t表示PQ，推知點(diǎn)G在正方形PQNM內(nèi)部，從而確定點(diǎn)E從點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)開始到點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)G都始終在正方形PQNM內(nèi)部．

解答 解：（1）∵梯形ABCD中，BC∥AD，
∴∠CBO=∠ODA，∠BCO=∠OAD，
∴△BOC∽△DOA，
設(shè)PQ經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，可得：
$\frac{BC}{AD}=\frac{BO}{OD}$=$\frac{t}{AB-t}$，
∴$\frac{t}{8-t}=\frac{6}{10}$，
解得：t=3；

（2）由題意可知：
當(dāng)0＜BE＜PQ時(shí)，S=BE•PQ；
當(dāng)BE=PQ時(shí)，S=BE²；
當(dāng)3＞BE＞PQ時(shí)，S=PQ²；
當(dāng)BE=0或3時(shí)，S=0，
∵△POQ∽△DOA，
∴$\frac{PQ}{10}=\frac{3-t}{8-3}$，PQ=6-2t，
∴s=$\left\{\begin{array}{l}{t（6-2t），t＜6-2t}\\{{t}^{2}，t=6-2t}\\{（6-2t）^{2}，6-2t＜t＜3}\\{0，t=0，3}\end{array}\right.$，
∴$s=\left\{\begin{array}{l}{-2{t}^{2}+6t，0＜t＜2}\\{{t}^{2}，t=2}\\{4{t}^{2}-24t+36，2＜t＜3}\\{0，t=0，3}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，s取最大值，最大值為4.5；

（3）∵H為AB中點(diǎn)，
∴BH=HA=4，
∴當(dāng)t=4時(shí)，PQ與GT重合，
當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，t=8，PQ=10＞AB，
∴MN不可能與GT重合，
又∵$\frac{PQ}{10}=\frac{t-3}{8-3}$，即PQ=2t-6＞t-3，
∴當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)H開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G始終在正方形PQNM內(nèi)部，
∴當(dāng)G在正方形PQNM內(nèi)部時(shí)，4＜t＜8．

點(diǎn)評(píng) 本題歸類與四邊形的綜合題，運(yùn)用了相似三角形的判定與性質(zhì)，梯形的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡．