Question

16．已知：如圖，BC為⊙O的直徑，BF為弦，A為$\widehat{BF}$的中點(diǎn)，AD⊥BC，垂足為D，AD和BF相交于點(diǎn)E，求證：AE=BE．

Answer 1

分析 由BC是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得∠BAC=90°，又由AD⊥BC，即可得∠BAD=∠C，又由A為$\widehat{BF}$的中點(diǎn)，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，易得∠ABF=∠F=∠C，則可證得∠ABF=∠BAD，繼而證得結(jié)論．

解答 證明：連AF，AB，AC．
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵∠C=∠F，
∴∠BAD=∠F，
∵A為$\widehat{BF}$的中點(diǎn)，
∴∠ABF=∠F，
∴∠BAD=∠ABF，
∴BE=AE．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)以及弧、弦的關(guān)系．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．