Question

4．如圖，四邊形OABC為正方形，C的坐標為（0，4），點P為x軸正半軸上任意一點（與點O、A不重合），連接CP，CP的右側作正方形CPGH，設OP=t
（1）直接用含t的代數式表示點G的坐標為（t+4，t）
（2）過點G作GM∥x軸交射線OB于M，試判斷線段GM的長度起否隨t的變化而變化．若不變，求出其值；若變化，請說明理由；
（3）連接CG，交射線AB于E，求當t為何值時，E到B點的距離為1．

Answer 1

分析 （1）作GD⊥x軸于D，先根據正方形的性質，判定△GPD≌△PCO（AAS），得出GD=PO=t，DP=OC=4，進而得到OD=t+4，即點G的坐標為（t+4，t）；
（2）連接AG，判定四邊形ADGN是矩形，再判定四邊形ADGN是正方形，得到∠GAD=45°=∠BOA，進而判定AG∥OM，再判定四邊形OAGM是平行四邊形，得出MG=OA=4，即線段MG的長度不發(fā)生改變；
（3）分兩種情況討論：①當E在線段AB上時，過點G作GD⊥x軸于D，作GF⊥AB于F；②當E在線段AB的延長線上時，過點G作GD⊥x軸于D，作GF⊥AB于F，分別判定四邊形ADGF是正方形，得出GF=DG=AF=t，再根據CB∥GF，得出$\frac{EF}{EB}$=$\frac{FG}{BC}$，列出關于t的方程式，求得t的值即可．

解答 解：（1）如圖1，作GD⊥x軸于D，
則∠GDP=90°，GD∥AB，
∴∠GPD+∠PGD=90°，
∵四邊形PCHG是正方形，
∴∠CPG=90°，
∴∠GPD+∠CPO=90°，
∴∠PGD=∠CPO，
∵四邊形AOCB是正方形，
∴∠POC=90°=∠GDP，OA=OC=AB=BC=4，∠BOA=45°，
在△GPD和△PCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POC=∠GDP}\\{∠CPO=∠PGD}\\{PC=GP}\end{array}\right.$，
∴△GPD≌△PCO（AAS），
∴GD=PO=t，DP=OC=4，
∴OD=t+4，
∴點G的坐標為：（t+4，t）．
故答案為（t+4，t）；

（2）線段MG的長度不發(fā)生改變．
理由：如圖1，連接AG，
∵MG∥OA，GD∥AB，∠GDA=90°，
∴四邊形ADGN是矩形，
又∵DP=OC=OA，
∴AD=PO=t=DG，
∴四邊形ADGN是正方形，
∴∠GAD=45°=∠BOA，
∴AG∥OM，
∴四邊形OAGM是平行四邊形，
∴MG=OA=4，即線段MG的長度不發(fā)生改變；

（3）如圖2，當E在線段AB上時，過點G作GD⊥x軸于D，作GF⊥AB于F，則四邊形ADGF是矩形，
又∵DP=OC=OA=4，
∴AD=PO=t=DG，
∴四邊形ADGF是正方形，
∴GF=DG=AF=t
又∵BE=1，
∴EF=4-1-t=3-t，
∵CB∥GF，
∴$\frac{EF}{EB}$=$\frac{FG}{BC}$，即$\frac{3-t}{1}=\frac{t}{4}$，
解得t=$\frac{12}{5}$；

如圖3，當E在線段AB的延長線上時，過點G作GD⊥x軸于D，作GF⊥AB于F，則四邊形ADGF是矩形，
又∵DP=OC=OA=4，
∴AD=PO=t=DG，
∴四邊形ADGF是正方形，
∴GF=DG=AF=t
又∵BE=1，
∴EF=t-4-1=t-5，
∵CB∥GF，
∴$\frac{EF}{EB}$=$\frac{FG}{BC}$，即$\frac{t-5}{1}$=$\frac{t}{4}$，
解得t=$\frac{20}{3}$．
綜上所述，當t為$\frac{12}{5}$或$\frac{20}{3}$時，E到B點的距離為1．

點評 本題主要考查了四邊形的綜合應用，解題時需要運用正方形的性質、平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是作輔助線構造平行線，利用平行線分線段成比例定理，列出方程式進行求解，解題時注意分類思想的運用．