Question

3．已知菱形ABCD，點P是對角線AC所在的直線上的動點，點E在DC邊所在直線上，且隨著點P的運動而運動，PE=PD總成立．
（1）如圖（1），當點P在對角線AC上時，請你通過測量、觀察，猜想①PE與PB有怎樣的關系？②∠BPE與∠BCD有怎樣的關系？（直接寫出結論不必證明）
（2）如圖（2），當點P運動到CA的延長線上時，（1）中猜想的結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質得到AB=AD，∠BAP=∠DAP，根據(jù)全等三角形的判定得到△BAP≌△DAP，根據(jù)等腰三角形的性質得到答案；
（2）由（1）的結論得到PB=PD，∠APD=∠APB，證明△BPC≌△DPC，得到∠PBC=∠PDC，根據(jù)四點共圓證明結論即可．

解答 解：（1）①PE=PB，②∠BPE+∠BCD=180°，
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP，
在△BAP和△DAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=D}\\{∠BAP=∠DAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△DAP，
∴PB=PD，∠ABP=∠ADP，
∵PE=PD，
∴PE=PB，
∵PE=PD，
∴∠PDE=∠PED，又∠PED+∠PEC=180°，
∴∠PBC+∠PEC=180°，
∴∠BPE+∠BCD=180°；
（2）由（1）得△BAP≌△DAP，
∴PB=PD，∠APD=∠APB，
∵PE=PD，
∴PE=PB，
在△BPC和△DPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PB}\\{∠APB=∠APD}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△DPC，
∴∠PBC=∠PDC，
∵PE=PD，
∴∠PDC=∠PEC，
∴∠PBC=∠PEC，
∴B、C、P、E四點共圓，
∴∠BPE=∠BCE，
∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠BPE+∠BCD=180°．

點評 本題考查的是菱形的性質、全等三角形的判定和性質，掌握菱形的四條邊相等、每條對角線平分一組對角是解題的關鍵，注意類比思想的應用．