Question

15．先閱讀下面一段材料，再完成后面的問題：
材料：如圖1，過拋物線y=ax²（a＞0）的對稱軸上一點（0，$-\frac{1}{4a}$）作對稱軸的垂線l，則拋物線上任意一點
P到點F（0，$\frac{1}{4a}$）的距離與P到l的距離一定相等，我們將點F與直線l分別稱作這條拋物線的焦點和準線．如
y=x²的焦點為（0，$\frac{1}{4}$）．
問題：若直線y=kx+1交拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}$于A、B兩點，準線l與y軸交于點K．
（1）求證：以AB為直徑的圓與準線l相切．
（2）當k=0時，作以F為焦點，以AB為直徑的圓F，準線l上一點C與圓心F的連線交圓于D、E兩點，過點E作準線的垂線，垂足為M，若∠MCE=∠CEK（如圖2），求△MCE的面積．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)題意餓出拋物線y=$\frac{1}{4}$x²的焦點為F（0，1），由直線y=kx+1過點F（0，1）可設線段A、B的中點為M，過點AMB分別作準線l的垂線，垂足分別為G、N、H，則AG∥MN∥BH，由梯形中位線定理可知，MN=$\frac{1}{2}$（AG+BH），由材料知，AF=AG，BF=BH，根據(jù)直徑AB=AF+BF=AG+BH可知MN=$\frac{1}{2}$AB=R，即圓心到準線的距離等于半徑，由此可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)當k=0可知AB與x軸平行，由F（0，1），可得出AB=4．由（1）知，以AB為直徑的圓與準線相切，切點為K，連接DK，則∠EKD=∠FKC=90°，故FE=FK=FD，∠FKC=∠CEK．根據(jù)勾股定理可求出EC，EM，MC的長，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：由題意知，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²的焦點為F（0，1），
∵直線y=kx+1過點F（0，1），
設線段A、B的中點為M，過點AMB分別作準線l的垂線，垂足分別為G、N、H，則AG∥MN∥BH，
∴MN=$\frac{1}{2}$（AG+BH），
由材料知，AF=AG，BF=BH，
∴直徑AB=AF+BF=AG+BH，
∴MN=$\frac{1}{2}$AB=R，即圓心到準線的距離等于半徑，
∴以AB為直徑的圓與準線l相切；

（2）解：如圖2，
∵當k=0時，AB與x軸平行，
∵F（0，1），
∴AB=4．
∵由（1）知，以AB為直徑的圓與準線相切，切點為K，
連接DK，則∠EKD=∠FKC=90°，
∵FE=FK=FD，
∴∠FKC=∠CEK．
∵∠MCE=∠CEK，∠FCK=30°，
∴FC=4，
∴EC=6，EM=3，MC=3$\sqrt{3}$，
∴S_△MCE=$\frac{1}{2}$MC•ME=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×3=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出梯形及直角三角形，再根據(jù)梯形中位線定理等知識求解是解答此題的關(guān)鍵．