Question

10．如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC與E，F(xiàn)兩點，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于$\frac{1}{2}$EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點M．
（1）若∠ACD=138°，求∠MAB的度數(shù)．
（2）若CN⊥AM，垂足為N，求證：△ACN≌△MCN．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB∥CD，∠ACD=138°，得出∠CAB=42°，再根據(jù)AM是∠CAB的平分線，即可得出∠MAB的度數(shù)．
（2）根據(jù)∠CAM=∠MAB，∠MAB=∠CMA，得出∠CAM=∠CMA，再根據(jù)CN⊥AD，CN=CN，即可得出△ACN≌△MCN．

解答 （1）解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB=180°，
又∵∠ACD=138°，
∴∠CAB=42°，
由作法知，AM是∠CAB的平分線，
∴∠MAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=21°；
（2）證明：∵AM平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，
∴∠MAB=∠CMA，
∴∠CAM=∠CMA，
又∵CN⊥AM，
∴∠ANC=∠MNC，
在△ACN和△MCN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ANC=∠MNC}\\{∠CAM=∠CMA}\\{CN=CN}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△MCN（AAS）．

點評 此題考查了作圖-復雜作圖，用到的知識點是全等三角形的判定、平行線的性質、角平分線的性質等，解題的關鍵是證出∠CAM=∠CMA．