Question

9．在△ABC中，∠ACB=90°，分別以AB、BC為邊向外作正方形ADEB和正方形BCFH．
（1）當BC=m時，正方形BCFH的周長=         （用含m的代數(shù)式表示）；
（2）連接CE．試說明：三角形BEC的面積等于正方形BCFH面積的一半．
（3）已知AC=BC=2，且點P是線段DE上的動點，點Q是線段BC上的動點，當P點和Q點在移動過程中，△APQ的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由正方形的性質得出答案即可；
（2）連接AH，證明△BHA≌△BCE，利用△BHA的面積=△BCE的面積得出結論；
（3）作點A關于DE的對稱點A′，點A關于BC的對稱點F，利用對稱的性質得出△APQ的周長的最小值為A′F，進一步求得問題即可．

解答 解：（1）∵四邊形BCFH是正方形，
∴BC=BH=FH=CF，
∴當BC=m時，正方形BCFH的周長為4m，
故答案為：4m；
（2）如圖1，連接AH，
在△BHA和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠CBE=∠ABH}\\{BC=BH}\end{array}\right.$
∴△BHA≌△BCE（SAS），
∴△BHA的面積=△BCE的面積=$\frac{1}{2}$正方形BCFH的面積；
（3）△APQ的周長存在最小值．
如圖2，作點A關于DE的對稱點A
∴AP=A′P
∵點A關于BC的對稱點F，
∴AQ=QF，
∴△APQ的周長的最小值為A′F，
過A′作A′M⊥FA交FA的延長線于M，
∵△AA′M為等腰直角三角形，
∴AA′=4$\sqrt{2}$，
∴MA=MA′=4，
∴MF=8，A′F=4$\sqrt{5}$，
∴△APQ的周長的最小值為4$\sqrt{5}$．

點評 此題綜合考查正方形的性質，對稱的性質，勾股定理的運用以及利用對稱性求最短距離的問題，對于求最短距離的問題體現(xiàn)了建模思想的運用，注意輔助線的作法．