Question

18．矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是對角線BD上不重合的兩點，點P關(guān)于直線AD，AB的對稱點分別是E，F(xiàn)，點Q關(guān)于直線BC，CD的對稱點分別是點G，H，若由點E，F(xiàn)，G，H構(gòu)成的四邊形恰好為菱形，求PQ的長．

Answer 1

分析 如解答圖所示，本題要點如下：
（1）證明矩形的四個頂點A、B、C、D均在菱形EFGH的邊上，且點A、C分別為各自邊的中點；
（2）證明菱形的邊長等于矩形的對角線長；
（3）求出線段AP的長度，證明△AOP為等腰三角形；
（4）利用勾股定理求出線段OP的長度；
（5）同理求出OQ的長度，從而得到PQ的長．

解答 解：由矩形ABCD中，AB=4，AD=3，可得對角線AC=BD=5．
依題意畫出圖形，如右圖所示．
由軸對稱性質(zhì)可知，∠PAF+∠PAE=2∠PAB+2∠PAD=2（∠PAB+∠PAD）=180°，
∴點A在菱形EFGH的邊EF上．同理可知，點B、C、D均在菱形EFGH的邊上．
∵AP=AE=AF，∴點A為EF中點．同理可知，點C為GH中點．
連接AC，交BD于點O，則有AF=CG，且AF∥CG，
∴四邊形ACGF為平行四邊形，
∴FG=AC=5，即菱形EFGH的邊長等于矩形ABCD的對角線長．
∴EF=FG=5，
∵AP=AE=AF，
∴AP=$\frac{1}{2}$EF=2.5．
∵OA=$\frac{1}{2}$AC=2.5，
∴AP=AO，即△APO為等腰三角形．
過點A作AN⊥BD交BD于點N，則點N為OP的中點．
由S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$AC•AN，可求得：AN=2.4．
在Rt△AON中，由勾股定理得：ON=$\sqrt{O{A}^{2}-A{N}^{2}}$=$\sqrt{2．{5}^{2}-2．{4}^{2}}$=0.7，
∴OP=2ON=1.4；
同理可求得：OQ=1.4，
∴PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8．

點評 本題是幾何變換綜合題，難度較大．首先根據(jù)題意畫出圖形，然后結(jié)合軸對稱性質(zhì)、矩形性質(zhì)、菱形性質(zhì)進(jìn)行分析，明確線段之間的數(shù)量關(guān)系，最后由等腰三角形和勾股定理求得結(jié)果．