Question

19．在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，P是AD邊的中點，點E在AB邊上，EP的延長線交射線CD于F點，過點P作PQ⊥EF，與射線BC相交于點Q．
（1）如圖1，當(dāng)點Q在點C時，試求AE的長；
（2）如圖2，點G為FQ的中點，連結(jié)PG．
①當(dāng)AE=1時，求PG的長；
②當(dāng)點E從點A運動到點B時，試直接寫出線段PG掃過的面積．

Answer 1

分析 （1）先判定△APE∽△DCP，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，求得AE的長即可；
（2）①過點Q作QH⊥AD于H，根據(jù)△EPA∽△PQH，PE=$\sqrt{10}$，求得QE=$\frac{5}{3}$PE=$\frac{5}{3}\sqrt{10}$，再根據(jù)PG是△EFQ的中位線，得到PG=$\frac{1}{2}$EQ=$\frac{5}{6}\sqrt{10}$；②當(dāng)點E從點A運動到點B時，線段PG掃過的區(qū)域是以$\frac{25}{6}$為底，2為高的三角形，進而求得線段PG掃過的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{6}$×2=$\frac{25}{6}$．

解答 解：（1）如圖1，∵PQ⊥EF，∠A=90°，
∴∠APE+∠CPD=90°，∠APE+∠AEP=90°，
∴∠CPD=∠AEP，
又∵∠A=∠CDP=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴$\frac{AE}{PD}$=$\frac{AP}{DC}$，即$\frac{AE}{3}$=$\frac{3}{4}$，
解得AE=$\frac{9}{4}$；

（2）①∵AE=1，AD=6，P是AD邊的中點，
∴Rt△AEP中，PE=$\sqrt{10}$，
如圖2，過點Q作QH⊥AD于H，則∠A=∠QHP=90°，
∵∠A=90°，
∴∠APE+∠QPH=90°，∠APE+∠AEP=90°，
∴∠QPH=∠AEP，
∴△EPA∽△PQH，
∴$\frac{PE}{PQ}$=$\frac{AP}{QH}$=$\frac{3}{4}$，
∴Rt△EPQ中，QE=$\frac{5}{3}$PE=$\frac{5}{3}\sqrt{10}$，
∵P是AD邊的中點，AE∥DF，
∴P是EF的中點，
又∵點G為FQ的中點，
∴PG是△EFQ的中位線，
∴PG=$\frac{1}{2}$EQ=$\frac{5}{6}\sqrt{10}$；

②線段PG掃過的面積為$\frac{25}{6}$．
如圖3，當(dāng)點E與點A重合時，點D與點F重合，
Rt△PDQ中，PQ=4，
過點G作GH⊥PD于H，則HG=$\frac{1}{2}$PQ=2，
如圖4，當(dāng)點E與點B重合時，Rt△ABP中，BP=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
根據(jù)三角形中位線定理可得：PG=$\frac{1}{2}$BQ，PG∥BQ，
∵∠A=∠BPQ=90°，∠APB=∠PBQ，
∴△ABP∽△PQB，
∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{PB}{BQ}$，即$\frac{3}{5}$=$\frac{5}{BQ}$，
∴BQ=$\frac{25}{3}$，
∴PG=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{25}{6}$，
∵當(dāng)點E從點A運動到點B時，線段PG掃過的區(qū)域是以$\frac{25}{6}$為底，2為高的三角形，
∴線段PG掃過的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{6}$×2=$\frac{25}{6}$．

點評 本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形和直角三角形，運用相似三角形的性質(zhì)進行求解．