Question

20．如圖，Rt△OAB中，∠OAB=90°，直角邊OA與x軸重合，OA=4，AB=2，現在把Rt△OAB繞點O逆時針旋轉90°，點B旋轉到點C的位置，一條拋物線正好經過點O，C，A三點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在x軸上方的拋物線上有一動點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點G；分別過點P，點G作x軸的垂線，交x軸于E，F兩點．
問：四邊形PEFG的周長是否有最大值？若有，求出最值，并寫出解答過程；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據旋轉的性質可求出C的坐標和A的坐標，又因為拋物線經過原點，故設y=ax²+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出該拋物線的解析式；
（2）四邊形PEFM的周長有最大值，設點P的坐標為P（a，-a²+4a）則由拋物線的對稱性知OE=AF，所以EF=PG=4-2a，PE=MF=-a²+4a，則矩形PEFG的周長L=2[4-2a+（-a²+4a）]=-2（a-1）²+10，利用函數的性質即可求出四邊形PEFM的周長的最大值．

解答 解：（1）∵OA=4，AB=2，△AOB繞點O逆時針旋轉90°，點B旋轉到點C的位置，
∴點C的坐標為（2，4）．
又∵點A的坐標為（4，0），拋物線經過原點，故設y=ax²+bx（a≠0），把（2，4），（4，0）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{0=16a+4b}\\{4=4a+2b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$．
所以拋物線的解析式為y=-x²+4x；

（2）有最大值．
理由如下：設點P的坐標為P（a，-a²+4a），PE=GF=-a²+4a，
則由拋物線的對稱性知OE=AF，所以EF=PG=4-2a，
則矩形PEFG的周長L=2[4-2a+（-a²+4a）]=-2（a-1）²+10，
所以當a=1時，矩形PEFM的周長有最大值，L_max=10．

點評 本題考查了旋轉的性質、利用待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的最大值問題和函數圖象的交點問題，題目的綜合性很強，對學生的綜合解題能力要求很高．