Question

15．如圖，在矩形ABCD中，AD=10，E為AB上一點，且AE=$\frac{1}{4}$AB=a，連結(jié)DE，F(xiàn)是DE中點，連結(jié)BF，以BF為直徑作⊙O．
（1）用a的代數(shù)式表示DE²=a²+100，BF²=$\frac{49{a}^{2}+100}{4}$；
（2）求證：⊙O必過BC的中點；
（3）若⊙O與矩形ABCD各邊所在的直線相切時，求a的值；
（4）作A關(guān)于直線BF的對稱點A′，若A′落在矩形ABCD內(nèi)部（不包括邊界），則a的取值范圍$\frac{10}{7}$＜a＜$\frac{10}{7}\sqrt{7}$．（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)勾股定理得：ED²=AE²+AD²=a²+10²=a²+100，在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF²=BG²+GF²，代入可得結(jié)果；
（2）如圖1，證明四邊形BGFH是矩形，得BH=GF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，所以⊙O必過BC的中點；
（3）因為⊙O不可能與邊AB和BC相切，所以分兩種情況：
①如圖2，當(dāng)⊙O與邊CD相切時，根據(jù)Rt△ONF中，ON²+NF²=OF²=OM²，列式$（\frac{5}{2}）^{2}$+（$\frac{7}{4}a$）²=$（\frac{15}{2}）^{2}$，求a的值；
②如圖3，當(dāng)⊙O與邊AD相切時，設(shè)切點為Q，根據(jù)：$B{F}^{2}=25+\frac{49}{4}{a}^{2}$  且BF=2OQ，列式可得結(jié)論；
（4）分別計算當(dāng)a最小和最大時，即A′在邊BC上和邊CD上，作輔助線，根據(jù)對稱點的連線被對稱軸垂直平分，由線段垂直平分線的性質(zhì)列式可得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△AED中，AE=a，AD=10，
由勾股定理得：ED²=AE²+AD²=a²+10²=a²+100，
設(shè)⊙O交AB于G，連接FG，
∵BF是⊙O的直徑，
∴∠BGF=90°，
∵∠A=90°，
∴∠BGF=∠A，
∴FG∥AD，
∵F是ED的中點，
∴GF=$\frac{1}{2}$AD=5，EG=AG=$\frac{1}{2}$a，
∵AE=$\frac{1}{4}$AB=a，
∴AB=4a，
∴BG=4a-$\frac{1}{2}$a=$\frac{7}{2}$a，
由勾股定理得：BF²=BG²+GF²，
∴BF²=$（\frac{7}{2}a）^{2}$+5²=$\frac{49}{4}{a}^{2}$+25=$\frac{49{a}^{2}+100}{4}$，
故答案為：a²+100；$\frac{49{a}^{2}+100}{4}$；
（2）如圖1，設(shè)⊙O交BC于H，連接FH，
∵BF是⊙O的直徑，
∴∠BHF=90°，
∴∠ABC=∠BHF=∠AGF=90°，
∴四邊形BGFH是矩形，
∴BH=GF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴H是BC的中點，
即：⊙O必過BC的中點；
（3）分兩種情況：
①如圖2，當(dāng)⊙O與邊CD相切時，設(shè)切點為M，連接OM、FH交于N，則OM⊥CD，
∴OM=ON+MN=$\frac{5}{2}$+5=$\frac{15}{2}$，
∵OM⊥FH，
∴NF=$\frac{1}{2}$FH=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}\\;a$=$\frac{7}{4}$a，
Rt△ONF中，ON²+NF²=OF²=OM²，
∴$（\frac{5}{2}）^{2}$+（$\frac{7}{4}a$）²=$（\frac{15}{2}）^{2}$，
a=$±\frac{20}{7}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{20}{7}$，
②如圖3，當(dāng)⊙O與邊AD相切時，設(shè)切點為Q，
連接OQ，則OQ⊥AD，連接FG，交OQ于P，
∴OQ=OP+PQ=$\frac{1}{2}$BG+AG=$\frac{7}{4}a$+$\frac{1}{2}a$=$\frac{9}{4}$a，
由（1）知：$B{F}^{2}=25+\frac{49}{4}{a}^{2}$  且BF=2OQ，
∴25+$\frac{49}{4}\\;{a}^{2}$a²=（2×$\frac{9}{4}$a）²，
a=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
綜上所述，若⊙O與矩形ABCD各邊所在的直線相切時，a的值為$\frac{20}{7}$或$\frac{5\sqrt{2}}{4}$；
（4）如圖4，當(dāng)A的對稱點A′恰好在邊BD上時，連接AA′交BF于H，連接AF、A′F，過F作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N，則MN⊥AD，
∵A關(guān)于直線BF的對稱點A′，
∴BF是AA′的垂直平分線，
∴AF=A′F，AB=A′B=4a，
由（1）（2）得：FN=$\frac{1}{2}$a，F(xiàn)M=$\frac{7}{2}$a，A′M=4a-5，AN=5，
由勾股定理得：${5}^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}$=（4a-5）²+$（\frac{7}{2}a）^{2}$，
解得：a₁=0（舍），a₂=$\frac{10}{7}$，
∴當(dāng)a＜$\frac{10}{7}$時，A′落在矩形ABCD外部（包括邊界），
如圖5，當(dāng)A′落在邊CD上時，連接AA′、A′B，過F作MG⊥AB，則MG⊥CD，
設(shè)射線BF交AD于N，
易得A′G=AM=DG=$\frac{1}{2}$a，A′C=3a，
∵BF是AA′的垂直平分線，
∴AB=A′B，
則（4a）²=10²+（3a）²，
a=$\frac{10}{7}\sqrt{7}$，
∴a的取值范圍是：$\frac{10}{7}$＜a＜$\frac{10}{7}\sqrt{7}$，
故答案為：$\frac{10}{7}$＜a＜$\frac{10}{7}\sqrt{7}$．

點評 本題是圓和四邊形的綜合題，考查了三角形中位線定理、線段垂直平分線性質(zhì)、對稱的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)，第三問和第四問中采用分類討論的思想，注意不要丟解，第四問有難度，準(zhǔn)確畫出圖形是關(guān)鍵．