Question

17．如圖，矩形OABC在第一象限，OA=a，OC=b，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）始終經(jīng)過BC的中點E，且與AB交于點D，連接OE．
（1）求證：點D是AB的中點；
（2）當(dāng)∠AOE=45°時，求a、b之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）當(dāng)∠AOE=30°，k=$\sqrt{3}$時，將四邊形OABE沿OE翻折，得四邊形OMNE，若雙曲線與四邊形OMNE的另一交點為F，求EF的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中點坐標(biāo)公式得到E點坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法得到雙曲線解析式，把D點的橫坐標(biāo)代入可求D點的縱坐標(biāo)，依此即可證明；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到a、b之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）首先過點E作EH⊥OA于點H，過點F作FG⊥OA于點G，由∠EOA=30°，k=$\sqrt{3}$，即可求得點E的坐標(biāo)，又由點E是BC的中點，可求得點D的橫坐標(biāo)，繼而求得點D的坐標(biāo)，然后由折疊的性質(zhì)，可得∠FOA=60°，即可求得點F的坐標(biāo)，然后由待定系數(shù)法求得直線DF的解析式．

解答 （1）證明：∵四邊形OABC是進(jìn)行，
∴BC=OA=a，
∵OC=b，
∴BC的中點E的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$a，b），
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）始終經(jīng)過BC的中點E，
∴b=$\frac{k}{\frac{1}{2}a}$，解得k=$\frac{1}{2}ab$．
故雙曲線解析式為y=$\frac{\frac{1}{2}ab}{x}$，
當(dāng)x=a時，y=$\frac{\frac{1}{2}ab}{x}$=$\frac{1}{2}$b，
∴點D是AB的中點；

（2）解：∵∠AOE=45°，
∴∠COE=45°，
∴OC=OE=$\frac{1}{2}$BC，
∴a=2b；

（3）解：如圖，過點E作EH⊥OA于點H，過點F作FG⊥OA于點G，
∵∠AOE=30°，k=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{EH}{OH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OH=$\sqrt{3}$EH，
∵S_△EOH=$\frac{1}{2}$OH•EH=$\frac{1}{2}$k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴EH=1，OH=$\sqrt{3}$，
∴點E（$\sqrt{3}$，1），
∵E是BC的中點，
∴OA=2OH=2$\sqrt{3}$，
∴點D的橫坐標(biāo)為2$\sqrt{3}$，
則y=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴點D（2$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），
由折疊的性質(zhì)可得：∠FOA=2∠AOE=60°，
∴FG：OG=$\sqrt{3}$，
∵S_△FOG=$\frac{1}{2}$OG•FG=$\frac{1}{2}$k═$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OG=1，F(xiàn)G=$\sqrt{3}$，
∴點F（1，$\sqrt{3}$），
設(shè)直線EF的解析式為：y=ax+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}a+b=1}\\{a+b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$，
∴直線EF的解析式為：y=-x+$\sqrt{3}$-1．

點評 此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)k的幾何意義以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．