Question

15．菱形ABCD中，∠BAD是銳角，AC，BD相交于點(diǎn)O，E是BD的延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），連接EC并延長(zhǎng)和AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接AE．
（1）比較∠F和∠ABD的大小，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)△BFC有一個(gè)內(nèi)角是直角時(shí)，△BFC與△EFA是否相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）推出這個(gè)直角為∠BCF，然后證明△△ABE≌△CBE，得出∠FCB=∠FAE=90°，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）∠ABD＞∠F；理由如下：
∵∠ABD為△BFE的一個(gè)外角，
∴∠ABD＞∠F；
（2）△BFC∽△EFA；理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，BA=BC，
∴∠BAD=∠FBC，∠BAD+∠ABC=180°
又∵∠BAD為銳角，
∴∠FBC為銳角，∠ABC為鈍角，
∴∠ABD為銳角，
由（1）得：∠F也為銳角，
又∵△BFC有一個(gè)角是直角，
∴∠BCF為直角，
在△ABE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}&{\;}\\{∠ABE=∠CBE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE=90°，
∴∠FCB=∠FAE=90°，
∴△BFC∽△EFA．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)；特別是（2）中，證明三角形全等得出角相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．