Question

7．如圖1，△ABC中，CA=CB，點(diǎn)O在高CH上，OD⊥CA于點(diǎn)D，以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O，若AC=5，AB=6．
（1）若O為CH的中點(diǎn)，⊙O與OH相交于點(diǎn)E，連接AE、BE，求△ABE的面積；
（2）如圖2，若⊙O過點(diǎn)H，且連接DH，求tan∠AHD的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)⊙O的半徑為r，如圖1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AH=$\frac{1}{2}$AB=3，再根據(jù)勾股定理計算出CH=4，接著證明Rt△CDO∽Rt△CHA，利用相似比得到$\frac{r}{3}$=$\frac{2}{5}$，解得r=$\frac{6}{5}$，則EH=OH-OE=$\frac{4}{5}$，然后根據(jù)三角形面積公式計算△ABE的面積；
（2）連結(jié)DH，如圖2，先證明⊙O與AB相切，根據(jù)切線長定理得到AD=AH，則可判斷OA垂直平分DH，所以∠AHD+∠HAO=90°，加上∠AOH+∠HAO=90°，所以∠AHD=∠AOH，接著證明Rt△CDO∽Rt△CHA，利用相似比得$\frac{r}{3}$=$\frac{4-r}{5}$，解得r=$\frac{3}{2}$，則OH=$\frac{3}{2}$，在Rt△AOH中，利用正切的定義得tan∠AOH=$\frac{AH}{OH}$=2，于是有tan∠AHD=2．

解答 解：（1）設(shè)⊙O的半徑為r，如圖1，
∵CA=CB，CH為高，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=3，
在Rt△ACH中，∵AC=5，AH=3，
∴CH=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{2}}$=4，
∵O為CH的中點(diǎn)，
∴OC=CH=$\frac{1}{2}$CH=2，
∵OD⊥CA，
∴OD=OE=r，
∵∠DCO=∠HCA
∴Rt△CDO∽Rt△CHA，
∴$\frac{OD}{AH}$=$\frac{OC}{AC}$，即$\frac{r}{3}$=$\frac{2}{5}$，解得r=$\frac{6}{5}$，
∴EH=OH-OE=2-$\frac{6}{5}$=$\frac{4}{5}$，
∴△ABE的面積=$\frac{1}{2}$×AB×EH=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{4}{5}$=$\frac{12}{5}$；
（2）連結(jié)OA，如圖2，
∵⊙O過點(diǎn)H，OH⊥AH，
∴⊙O與AB相切，
∴AD=AH，
而OD=OH，
∴OA垂直平分DH，
∴∠AHD+∠HAO=90°，
而∠AOH+∠HAO=90°，
∴∠AHD=∠AOH，
∵∠DCO=∠HCA，
∴Rt△CDO∽Rt△CHA，
∴$\frac{OD}{AH}$=$\frac{OC}{AC}$，即$\frac{r}{3}$=$\frac{4-r}{5}$，解得r=$\frac{3}{2}$，
∴OH=$\frac{3}{2}$，
在Rt△AOH中，tan∠AOH=$\frac{AH}{OH}$=$\frac{3}{\frac{3}{2}}$=2，
∴tan∠AHD=2．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．