Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），動(dòng)點(diǎn)A 以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，從點(diǎn)O出發(fā)沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，M是線段AC的中點(diǎn)．將線段AM以點(diǎn)A為中心，沿順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，得到線段AB．過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，交直線BE于點(diǎn)D，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)S_△BCD=$\frac{25}{4}$時(shí)，t的值為（　�。�

• A． 2或2+3$\sqrt{2}$
• B． 2或2+3$\sqrt{3}$
• C． 3或3+5$\sqrt{3}$
• D． 3或3+5$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先證明△CAO∽△ABE，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，得出BE=$\frac{1}{2}$t，AE=2．分兩種情況：
①當(dāng)0＜t＜8時(shí)；根據(jù)題意得出方程，解方程即可；
②當(dāng)t＞8時(shí)；根據(jù)題意得出方程，解方程即可．

解答 解：根據(jù)題意得：∠BAC=90°，
∴∠CAO+∠BAE=90°，
∵BE⊥x軸，
∴∠AEB=90°=∠AOC，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CAO=∠ABE．
∴△CAO∽△ABE．
∴$\frac{CA}{AB}=\frac{AO}{BE}$=$\frac{OC}{AE}$，
∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，AB=AM，
∴CA=2AB，
∴$\frac{2AB}{AB}=\frac{t}{BE}$=$\frac{4}{AE}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$t，AE=2．
分兩種情況：
①當(dāng)0＜t＜8時(shí)，如圖1所示：
S=$\frac{1}{2}$CD•BD=$\frac{1}{2}$（2+t）（4-$\frac{t}{2}$）=$\frac{25}{4}$．
解得：t₁=t₂=3．
②當(dāng)t＞8時(shí)，如圖2所示：
S=$\frac{1}{2}$CD•BD=$\frac{1}{2}$（2+t）（ $\frac{t}{2}$-4）=$\frac{25}{4}$．
解得：t₁=3+5$\sqrt{2}$，t₂=3-5$\sqrt{2}$（不合題意，舍去）．
綜上所述：當(dāng)t=3或3+5$\sqrt{2}$時(shí)，S=$\frac{25}{4}$；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角的互余關(guān)系、三角形面積的計(jì)算方法、解方程等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，需要進(jìn)行分類討論才能得出結(jié)果．