Question

9．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）與一次函數(shù)y=ax-2（a＞0）的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A作AC⊥y軸與點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D．
（1）求證：AB∥CD；
（2）若a=2，△ABE的面積為9，求反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的解析式；
（3）在（2）的條件下，M為BE上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)T從點(diǎn)B出發(fā)，沿BM→MA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，在BM上運(yùn)動(dòng)的速度是每秒$\sqrt{5}$個(gè)單位長度，在MA上運(yùn)動(dòng)的速度是每秒1個(gè)單位長度．若點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最少，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先設(shè)A（x₁，$\frac{k}{{x}_{1}}$），B（x₂，$\frac{k}{{x}_{2}}$），可得AE=x₁-x₂，BE=$\frac{k}{{x}_{1}}$-$\frac{k}{{x}_{2}}$，EC=-x₂，ED=$\frac{k}{{x}_{1}}$，即可求得$\frac{AE}{BE}=\frac{EC}{ED}$，繼而證得結(jié)論．
（2）先求得直線與x軸、y軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)AE∥OM，BE∥ON，∠E=∠MON=90°，求得△ABE∽△MNO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{AE}{BE}$=$\frac{OM}{ON}$=$\frac{1}{2}$，根據(jù)三角形的面積結(jié)合交點(diǎn)和系數(shù)的關(guān)系即可求得．
（3）延長AE到點(diǎn)F，使得EF=AE，連接BF，過點(diǎn)M作MG⊥BF于G，連接AM，如圖2，則有EF=AE=3，∠MGB=∠FEB=90°，然后運(yùn)用勾股定理可求出BF，易證△MGB∽△FEB，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可得MG=$\frac{MB}{\sqrt{5}}$．從而得到T運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{MB}{\sqrt{5}}$+$\frac{MA}{1}$=MG+MA，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)A、M、G三點(diǎn)共線時(shí)，MG+MA最小，此時(shí)有∠AGB=90°，然后只需證到△AEM∽△BEF，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出EM，進(jìn)而求出MD，就可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，$\frac{k}{{x}_{1}}$），B（x₂，$\frac{k}{{x}_{2}}$），
根據(jù)題意AE=x₁-x₂，BE=$\frac{k}{{x}_{1}}$-$\frac{k}{{x}_{2}}$，EC=-x₂，ED=$\frac{k}{{x}_{1}}$，
∵$\frac{AE}{BE}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\frac{k}{{x}_{1}}-\frac{k}{{x}_{2}}}$=-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{k}$，$\frac{EC}{ED}$=$\frac{-{x}_{2}}{\frac{k}{{x}_{1}}}$=-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{k}$，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{EC}{ED}$，
∴$\frac{EC}{AE}$=$\frac{ED}{BE}$，
∴AB∥CD；

（2）∵a=2，
∴一次函數(shù)為y=2x-2，
∴直線y=2x-2交x軸M的坐標(biāo)為（1，0），交y軸N的坐標(biāo)為（0，-2），
∴OM=1，ON=2，
∵AC⊥y軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D．
∴AE∥OM，BE∥ON，∠E=∠MON=90°，
∴△ABE∽△MNO，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{OM}{ON}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2AE，
∵AE=x₁-x₂，
∴BE=2（x₁-x₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{x}}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$，
得，x²-x-$\frac{k}{2}$=0，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-$\frac{k}{2}$，
∵S_ABE=$\frac{1}{2}$AE•BE=$\frac{1}{2}$（x₁-x₂）•2（x₁-x₂）=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1-4×（-$\frac{k}{2}$）=1+2k=9，
∴k=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$；

（3）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）與一次函數(shù)y=ax-2（a＞0）的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-2}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得：x₁=2，x₂=-1，
∴點(diǎn)A（2，2），（-1，-4），
∴E（-1，2），
∴BE=6，AE=3，
如圖2，延長AE到點(diǎn)F，使得EF=AE，連接BF，過點(diǎn)M作MG⊥BF于G，連接AM，如圖2，
則有EF=AE=3，∠MGB=∠FEB=90°．
∴BF=$\sqrt{E{F}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
∵∠GBM=∠EBF，∠MGB=∠FEB，
∴△MGB∽△FEB，
∴$\frac{MG}{MB}$=$\frac{FE}{FB}$=$\frac{3}{3\sqrt{5}}$，
∴MG=$\frac{MB}{\sqrt{5}}$．
由題可得：T運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{MB}{\sqrt{5}}$+$\frac{MA}{1}$=MG+MA，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)A、M、G三點(diǎn)共線時(shí)，MG+MA最小，
此時(shí)AG⊥BF，即∠AGB=90°，
∴∠F+∠FAG=90°．
∵∠FEB=90°，
∴∠F+∠FBE=90°，
∴∠FAG=∠FBE．
又∵∠AEM=∠BEF=90°，
∴△AEM∽△BEF，
∴$\frac{EM}{EF}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{EM}{3}$=$\frac{3}{6}$，
∴EM=$\frac{3}{2}$，
∴MD=ED-EM=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)．注意把T運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$\frac{MB}{\sqrt{5}}$+$\frac{MA}{1}$轉(zhuǎn)化為MG+MA是解決第（3）小題的關(guān)鍵，有一定的難度．