Question

20．如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，則∠BDF的度數(shù)是多少？

Answer 1

分析 （1）先由對(duì)角線互相平分證明四邊形ABCD是平行四邊形，再由對(duì)角互補(bǔ)得出∠ABC=90°，即可得出結(jié)論；
（2）先求出∠FDC=36°，再求出∠DCO=54°，然后求出∠ODC=54°，即可求出∠BDF．

解答 （1）證明：∵AO=CO，BO=DO
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，
∴∠FDC=36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO=90°-36°=54°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴∠ODC=54°
∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=18°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．