Question

4．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，C是優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，設(shè)∠OAB=α，∠C=β．
（1）當(dāng)β=36°時(shí)，求α的度數(shù)；
（2）猜想α與β之間的關(guān)系，并給予證明．
（3）若點(diǎn)C平分優(yōu)弧AB，且BC²=3OA²，試求α的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連接OB，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半和等腰三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)（1）的方法解答即可；
（3）過(guò)O作OE⊥AC于E，連接OC，證明AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA，得到△ABC為正三角形，得到答案．

解答 解：（1）連接OB，則OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，

∵∠C=36°，
∴∠AOB=72°，
∵∠OAB=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOB）=54°，
即β=54°．                                        
（2）α與β之間的關(guān)系是α+β=90°；
證明：∵∠OBA=∠OAB=α，
∴∠AOB=180°-2α，
∵∠AOB=2∠β，
∴180°-2α=2∠β，
∴α+β=90°．                                                 
（3）∵點(diǎn)C平分優(yōu)弧AB
∴AC=BC
又∵BC²=3OA²，
∴AC=BC=$\sqrt{3}$OA，
過(guò)O作OE⊥AC于E，連接OC，

由垂徑定理可知AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA，
∴∠AOE=60°，∠OAE=30°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC為正三角形，
則α=∠CAB-∠CAO=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的外接圓、垂徑定理和銳角三角函數(shù)的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形進(jìn)行解答．