Question

19．在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（-13，0），直線y=kx+3k-4與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為24．

Answer 1

分析 根據(jù)直線y=kx-3k-4必過點D（3，-4），求出最短的弦CB是過點D且與該圓直徑垂直的弦，再求出OD的長，再根據(jù)以原點O為圓心的圓過點A（-13，0），求出OB的長，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．

解答 解：∵直線y=kx-3k-4必過點D（3，-4），
∴最短的弦CB是過點D且與該圓直徑垂直的弦，
∵點D的坐標是（3，-4），
∴OD=5，
∵以原點O為圓心的圓過點A（-13，0），
∴圓的半徑為13，
∴OB=13，
∴BD=12，
∴BC的長的最小值為24．
故答案為：24．

點評 此題考查的是垂徑定理、勾股定理、圓的有關性質，解題的關鍵是求出BC最短時的位置．