Question

7．如圖，M為線段AB上一點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AE于點(diǎn)F，ME交BD于點(diǎn)G．
（1）寫出圖中的三對(duì)相似三角形；
（2）連接FG，當(dāng)AM=MB時(shí)，求證：△MFG∽△BMG；
（3）在（2）條件下，若α=45°，AB=4$\sqrt{2}$，AF=3，求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由∠AMF=∠B+∠D，∠BGM=∠DME+∠D，∠DME=∠A=∠B=α，可求得∠AMF=∠BGM，即可證得△AMF∽△BGM，然后由∠B是公共角，∠D是公共角，證得△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD；
（2）由△AMF∽△BGM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得$\frac{FM}{GM}=\frac{AM}{BG}$，又由AM=BM，即可證得$\frac{FM}{GM}=\frac{BM}{BG}$，然后由∠DME=∠B，證得：△MFG∽△BMG；
（3）由α=45°，可得△ABC是等腰直角三角形，又由△AMF∽△BGM，可得$\frac{AM}{BG}=\frac{AF}{BM}$，即可求得BG的長(zhǎng)，繼而求得CF與CG的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答 （1）解：△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，
理由：∵∠AMF=∠B+∠D，∠BGM=∠DME+∠D，
又∵∠DME=∠A=∠B=α，
∴∠AMF=∠BGM，
∴△AMF∽△BGM，
∵∠D是公共角，∠DME=∠B，
∴△BMD∽△MGD，
∵∠E是公共角，∠DME=∠A，
∴△AME∽△MFE；

（2）證明：∵△AMF∽△BGM，
∴$\frac{FM}{GM}=\frac{AM}{BG}$，
∵AM=BM，
∴$\frac{FM}{GM}=\frac{BM}{BG}$，
即$\frac{FM}{BM}=\frac{GM}{BG}$，
∵∠DME=∠B，
∴△MFG∽△BMG；

（3）解：當(dāng)α=45°時(shí)，可得AC⊥BC且AC=BC，
則AM=BM=2$\sqrt{2}$，
∵△AMF∽△BGM，
∴$\frac{AM}{BG}=\frac{AF}{BM}$，
∴BG=$\frac{AM•BM}{AF}$=$\frac{2\sqrt{2}•2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{8}{3}$，AC=BC=4$\sqrt{2}$•cos45°=4，
∴CG=BC-BG=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，CF=AC-AF=4-3=1，
∴FG=$\sqrt{C{F}^{2}+C{G}^{2}}$=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．注意相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．