Question

14．根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式．
（1）經(jīng)過(guò)（2，5），（-2，-3），（1，0）三點(diǎn)；
（2）拋物線的頂點(diǎn)為（-2，1），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）；
（3）拋物線的圖象過(guò)（1，-2），對(duì)稱鈾為直線x=2，且這個(gè)函數(shù)的最小值為-3；
（4）已知拋物線和y軸的交點(diǎn)是（0，-$\frac{3}{2}$），和x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（-1，0），對(duì)稱軸是x=1．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，再將點(diǎn)（2，5），（-2，-3），（1，0）代入解析式中，即可求得拋物線的解析式；
（2）由于已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+2）²+3，然后把（-1，5）代入求出a的值即可．
（3）由于對(duì)稱鈾為直線x=2，且這個(gè)函數(shù)的最小值為-3，則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-2）²-3，然后把（1，-2）代入求出a的值即可．
（4）因?yàn)閷?duì)稱軸是直線x=1，所以得到點(diǎn)（-1，0）的對(duì)稱點(diǎn)是（3，0），因此利用交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x₁）（x-x₂），求出解析式．

解答 解：（1）設(shè)出拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將點(diǎn)（2，5），（-2，-3），（1，0）代入解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=5}\\{4a-2b+c=-3}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為：y=x²+2x-3；
（2）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）²+1，
把（1，2）代入得a•（1+2）²+1=2，解得a=$\frac{1}{9}$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{9}$（x+2）²+1；
（3）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²-3，
把（1，-2）代入得a•（1-2）²-3=-2，解得a=1，
所以拋物線解析式為y=（x-2）²-3．
（4）∵拋物線對(duì)稱軸是直線x=1且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），
由拋物線的對(duì)稱性可知：拋物線還經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0），
即：y=a（x+1）（x-3），
把B（0，-$\frac{3}{2}$）代入得：-$\frac{3}{2}$=-3a，
∴a=$\frac{1}{2}$．
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．本題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱性確定拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．