Question

7．觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應點之間的距離：4與-2，3與5，-2與-6，-4與3．并回答下列各題：
（1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答：相等．
（2）若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x，點B表示的數(shù)為-1，則A與B兩點間的距離可以表示為|x+1|．
（3）結(jié)合數(shù)軸探求|x-2|+|x+6|的最小值，并說明取得最小值時x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接借助數(shù)軸可以得出；
（2）結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應分以下三種情況進行討論．當x＜-1時，距離為-x-1，當-1＜x＜0時，距離為x+1，當x＞0，距離為x+1．綜上，我們得到A與B兩點間的距離可以表示為|x+1|；
（3）|x-2|即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離．|x+6|=|x-（-6）|即x與-6的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上x與-6之間的距離． 借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案．

解答 解：（1）由觀察可知：所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值相等；
故答案為：相等；

（2）結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應分以下三種情況進行討論．

當x＜-1時，距離為-x-1，

當-1＜x＜0時，距離為x+1，

當x＞0，距離為x+1．綜上，我們得到A與B兩點間的距離可以表示為|x+1|；
故答案為：|x+1|；

（3）當x＜-6時，|x-2|+|x+6|=2-x-（6+x）=-2x-4，此時最小值大于8；
當-6≤x≤2時，|x-2|+|x+6|=2-x+x+6=8；
當x＞2時，|x-2|+|x+6|=x-2+x+6=2x+4，此時最小值大于8；
所以|x-2|+|x+6|的最小值為8，取得最小值時x的取值范圍為-6≤x≤2；

點評 本題考查了數(shù)軸，借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題．這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題時可以帶來方便．事實上，|A-B|表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點之間的距離．