Question

18．關(guān)于x的方程2x²-（a²-4）x-a+1=0，
（1）a為何值時，方程的一根為0？
（2）a為何值時，兩實根互為相反數(shù)？
（3）請問：是否存在實數(shù)a，使得方程兩實根互為倒數(shù)？若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接把x=0代入方程，求出a的值即可；
（2）設(shè)方程的兩個根分別為x₁，x₂，再根據(jù)兩實根互為相反數(shù)求出a的值即可；
（3）設(shè)方程的兩個根分別為x₁，x₂，假設(shè)存在實數(shù)a，使得方程兩實根互為倒數(shù)，則x₁•x₂=1，求出a的值即可．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，原方程可化為-a+1=0，解得a=1；

（2）設(shè)方程的兩個根分別為x₁，x₂，
∵兩實根互為相反數(shù)，
∴$\frac{{a}^{2}-4}{2}$=0，解得：a=±2；
把a=2代入原方程得，2x²-1=0，x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
把a=-2代入原方程得，2x²+3=0，x²=-$\frac{3}{2}$，無解．
∴當(dāng)a=2時，原方程的兩根互為相反數(shù)；

（3）假設(shè)存在實數(shù)a，使得方程兩實根互為倒數(shù)，
設(shè)方程的兩個根分別為x₁，x₂，
∵方程兩實根互為倒數(shù)，
∴x₁•x₂=1，即$\frac{1-a}{2}$=1，解得a=-1，

點評 本題考查的是根與系數(shù)的關(guān)系，熟知x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$是解答此題的關(guān)鍵．