Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形DOBC是矩形，且D（O，4），B（6，0）．若反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OC的中點(diǎn)A，分別交DC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．設(shè)直線EF的解析式為y=k₂x+b
（1）求反比例函數(shù)和直線EF的解析式；
（2）請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫出不等式k₂x+b-$\frac{{k}_{1}}{x}$＜0的解集；
（3）y軸上是否存在點(diǎn)p使得△POE的面積恰好等于△EOF的面積？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用矩形的性質(zhì)求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得A（3，2），再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）可求出k₁=6，從而得到反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{6}{x}$，然后利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出E點(diǎn)和F點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線EF的解析式；
（2）觀察函數(shù)圖象，寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍即可；
（3）先利用反比例函數(shù)k的幾何意義得到S_△OED=S_△OBF=3，再計(jì)算出CE=$\frac{9}{2}$，F(xiàn)C=3，接著根據(jù)三角形面積公式計(jì)算出S_△CEF=$\frac{27}{4}$，則利用面積的和差得到S_△OEF=$\frac{45}{4}$，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m），利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•|m|•$\frac{3}{2}$=$\frac{45}{4}$，解得m=±15，從而可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵D（0，4），B（6，0），
∴C（6，4），
∵線段OC的中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2），
把A（3，2）代入y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）得k₁=3×2=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{6}{x}$，
當(dāng)y=4時(shí)，$\frac{6}{x}$=4，解得x=$\frac{3}{2}$，則E（$\frac{3}{2}$，4），
當(dāng)x=6時(shí)，y=$\frac{6}{x}$=1，則F（6，1）；
把E（$\frac{3}{2}$，4），F(xiàn)（6，1）分別代入y=k₂x+b得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}{k}_{2}+b=4}\\{6{k}_{2}+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{2}{3}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線EF的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+5；
（2）$\frac{3}{2}$＜x＜6；
（3）存在．
∵點(diǎn)E，F(xiàn)都在反比例函數(shù)圖象上，
∴S_△OED=S_△OBF=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵E（$\frac{3}{2}$，4），F(xiàn)（6，1），
∴CE=6-$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，F(xiàn)C=3，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{4}$，
∴S_△OEF=4×6-3-3-$\frac{27}{4}$=$\frac{45}{4}$，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m），
∴$\frac{1}{2}$•|m|•$\frac{3}{2}$=$\frac{45}{4}$，解得m=±15，
∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，15）或（0．-15）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．也考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和三角形面積公式．